Để giải bài toán này, ta sẽ cần vẽ hình để dễ hình dung và sử dụng định lý hình học.

Cho hai điểm A và B trên đường tròn với tâm O và bán kính R. Các thông tin đã cho là:
- Đoạn thẳng AB = 9 cm
- Khoảng cách từ O đến AB (đoạn thẳng vuông góc từ O đến AB) bằng \(\frac{R}{2}\).

Gọi H là hình chiếu của O lên đoạn thẳng AB. Khi đó, OH = \(\frac{R}{2}\).

### A) Tính số đo góc OBH

Ta có tam giác OAB. Trong tam giác này, gáy OH chính là trung điểm của đoạn AB vì OH vuông góc với AB và O nằm trên đường trung trực của AB.

Để tính góc OBH, ta sẽ sử dụng định lý Pytago trong tam giác OAH:

- OA = R (bán kính)
- OH = \(\frac{R}{2}\)
- AH = \(\frac{AB}{2} = \frac{9}{2} = 4.5\) cm

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác OAH:

\[
OA^2 = OH^2 + AH^2
\]
\[
R^2 = \left(\frac{R}{2}\right)^2 + (4.5)^2
\]
\[
R^2 = \frac{R^2}{4} + 20.25
\]

Nhân cả phương trình với 4 để loại bỏ mẫu:

\[
4R^2 = R^2 + 81
\]
\[
3R^2 = 81
\]
\[
R^2 = 27 \implies R = 3\sqrt{3} \text{ cm}
\]

Sau khi tính được bán kính R, để tìm góc OBH, ta có thể sử dụng lượng giác:

Sử dụng tang để tìm sin theta:

\[
\tan(OBH) = \frac{OH}{AH} = \frac{\frac{R}{2}}{4.5}
\]
Thay R bằng \(3\sqrt{3}\):

\[
\tan(OBH) = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{4.5} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \times 4.5} = \frac{3\sqrt{3}}{9} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \tan(30^\circ)
\]

Vậy,

Góc \(OBH = 30^\circ\).

### B) Tính bán kính R

Từ phần trên, ta tính được:

\[
R = 3\sqrt{3} \text{ cm} \approx 5.196 \text{ cm}
\]

### Kết luận
- Góc OBH = \(30^\circ\)
- Bán kính \(R = 3\sqrt{3} \text{ cm}\) (khoảng 5.196 cm).