Để giải bài toán này, ta bắt đầu với phương trình đã cho:

\[
(x + m)^2 - (x - 3m)^2 = 0
\]

### a) Tìm giá trị của \(m\) để phương trình có nghiệm \(x = 2\)

Đầu tiên, ta thay \(x = 2\) vào phương trình:

\[
(2 + m)^2 - (2 - 3m)^2 = 0
\]

Khai triển hai bình phương:

\[
(2 + m)^2 = 4 + 4m + m^2
\]
\[
(2 - 3m)^2 = 4 - 12m + 9m^2
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
4 + 4m + m^2 - (4 - 12m + 9m^2) = 0
\]

Rút gọn các hạng tử:

\[
4 + 4m + m^2 - 4 + 12m - 9m^2 = 0
\]
\[
4m + 12m + m^2 - 9m^2 = 0
\]
\[
-8m^2 + 16m = 0
\]

Để giải phương trình này, ta có thể đưa ra ngoài nhân tử chung:

\[
-8m(m - 2) = 0
\]

Từ đây, chúng ta có hai nghiệm:

\[
m = 0 \quad \text{hoặc} \quad m = 2
\]

### b) Giải phương trình cho từng giá trị của \(m\)

1. **Khi \(m = 0\)**:

Thay \(m = 0\) vào phương trình:

\[
(x + 0)^2 - (x - 3 \cdot 0)^2 = 0
\]

Phương trình trở thành:

\[
x^2 - x^2 = 0
\]

Phương trình này luôn đúng với mọi \(x\). Do đó, với \(m = 0\), phương trình có vô số nghiệm.

2. **Khi \(m = 2\)**:

Thay \(m = 2\) vào phương trình:

\[
(x + 2)^2 - (x - 3 \cdot 2)^2 = 0
\]

Cụ thể phương trình trở thành:

\[
(x + 2)^2 - (x - 6)^2 = 0
\]

Khai triển các bình phương:

\[
(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4
\]
\[
(x - 6)^2 = x^2 - 12x + 36
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
x^2 + 4x + 4 - (x^2 - 12x + 36) = 0
\]

Rút gọn:

\[
x^2 + 4x + 4 - x^2 + 12x - 36 = 0
\]
\[
16x - 32 = 0
\]

Giải phương trình trên:

\[
16x = 32 \Rightarrow x = 2
\]

### Kết luận:

- Các giá trị của \(m\) để phương trình có \(x = 2\) là: \(m = 0\) hoặc \(m = 2\).
- Với \(m = 0\), phương trình có vô số nghiệm.
- Với \(m = 2\), phương trình có nghiệm duy nhất là \(x = 2\).