Để chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang, ta sẽ sử dụng các tính chất của các đoạn thẳng và góc trong tứ giác.

**Giả thiết:**
- \( AD = DC \)
- Đường chéo \( AC \) là phân giác góc \( A \)

**Chứng minh:**

1. **Gọi các góc:**
- Gọi \( \angle DAC = \alpha \) và \( \angle CAB = \alpha \) (do \( AC \) là phân giác góc \( A \)).
- Từ đây, ta có \( \angle DAB = \alpha \).

2. **Tìm góc \( \angle DCA \):**
- Bởi \( AD = DC \), tứ giác \( ACD \) là tam giác cân tại \( D \), nên \( \angle ADC = \angle ACD = \beta \).

3. **Tính tổng các góc trong tứ giác:**
- Ta có:
\[
\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^\circ
\]
- Biết rằng \( \angle DAB = \alpha \), \( \angle CDA = \angle DCA + \angle ACD = \beta + \beta = 2\beta \).

4. **Gọi \( \angle ABC = \gamma \) và \( \angle BCD = \delta \), ta có:**
- \( \gamma + \delta + 2\beta + \alpha = 360^\circ \).

5. **Chú ý rằng tứ giác là hình thang nếu hai góc đối diện có tổng \( 180^\circ \) (còn gọi là đồng phẳng):**
- Ta nhận thấy rằng \( \alpha + \beta = 90^\circ \) (vì \( AC \) là phân giác góc \( A \)).
- Như vậy, \( \beta + \alpha + \gamma + \delta = 360^\circ \).

6. **Suy ra:**
- Nếu \( \alpha + \beta + \angle ABC + \angle BCD = 180^\circ \), nghĩa là \( ABCD \) có hai góc đối diện là \( DAB \) và \( BCD\), là góc phụ nhau.

Do đó, từ các phân tích trên, ta suy ra rằng tứ giác \( ABCD \) phải là hình thang với đáy \( AB \) song song với \( DC \).

**Kết luận:**
Tứ giác \( ABCD \) là hình thang.