Để chứng minh rằng trong tam giác vuông ABC (vuông tại A), có công thức:

\[
BC = AB \cdot \cos B + AC \cdot \cos C
\]

ta có thể sử dụng định lý cosin trong tam giác vuông.

Gọi \( AB = a \), \( AC = b \), và \( BC = c \). Theo định lý cosin, trong tam giác vuông tại A, ta có:

\[
c^2 = a^2 + b^2
\]

Để tìm chiều dài của cạnh \( BC \), chúng ta xét góc B và C. Theo định nghĩa của cosin trong tam giác, ta có:

- \( \cos B = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{c} \)
- \( \cos C = \frac{AB}{BC} = \frac{a}{c} \)

Từ đây, ta có thể xác định:

\[
AB = c \cdot \cos C = c \cdot \frac{a}{c} \Rightarrow a = BC \cdot \cos C
\]
\[
AC = c \cdot \cos B = c \cdot \frac{b}{c} \Rightarrow b = BC \cdot \cos B
\]

Kết hợp dựa trên sự đồng nhất giữa các chiều dài, chúng ta có:

\[
BC = a \cdot \cos B + b \cdot \cos C
\]

Do đó, công thức \( BC = AB \cdot \cos B + AC \cdot \cos C \) được chứng minh.