Để chứng minh hai phần a và b của bài toán, chúng ta sẽ đi từng bước.

**Phần a**: Chứng minh tứ giác BEQN là hình chữ nhật.

1. **Thiết lập hệ tọa độ**:
Giả sử A là đỉnh của tam giác chóp tại tọa độ (0, h), B là (b, 0) và C là (c, 0) với h là chiều cao của tam giác. Vì tam giác ABC cân tại A nên b = -c.

2. **Tính góc vuông**:
Trong tam giác ABC, BE vuông với CF. Đây là điều đã cho, từ đó suy ra:
\[
\angle BEA + \angle CEF = 90^\circ
\]
Do BE vuông góc với CF, chúng ta có NP vuông góc với BE (vì MP vuông góc với AB) và MQ vuông góc với AC.

3. **Chứng minh các cạnh BE và NQ song song**:
Để chứng minh tứ giác BEQN là hình chữ nhật, ta cần chứng minh các cặp cạnh đối diện là song song và bằng nhau.
- Cạnh BE vuông góc với cạnh MP (bởi tính chất của đường cao).
- Cạnh MQ vuông góc với cạnh AC, do M nằm trên BC.
- Nằm trên tia đối của MQ, N thỏa mãn MN = MP, do đó NQ sẽ cũng vuông góc với BN.

4. **Kết luận**:
Từ những điều trên, ta có BE // NQ, và BE = NQ. Các cạnh còn lại EQ và BN cũng vuông góc với các đoạn thẳng tương ứng. Vậy nên tứ giác BEQN có tutte các cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, điều này chứng tỏ BEQN là hình chữ nhật.

**Phần b**: Chứng minh MP + MQ = CF.

1. **Sử dụng tính chất của đường cao**:
Do BE là đường cao của tam giác ABC, mà M là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Ta có hai đoạn thẳng MP và MQ vuông góc với các cạnh tương ứng.

2. **Tính toán**
Đặt độ dài của đoạn thẳng BE (đoạn cao) là CF. Ta có:
\[
CF = MB + AC
\]
mà từ các đoạn vuông góc MP và MQ, ta có:
\[
MP = MB, \quad MQ = AC
\]
Do đó:
\[
MP + MQ = MB + AC = CF
\]

3. **Kết luận**:
Từ đó, bảo toàn độ dài, ta có MP + MQ = CF.

Vậy ta đã chứng minh thành công cả hai phần a và b.