Để giải bài toán \(x^3 - 6x^2y + 12xy^2 = 8y^3\) và tính \(P = \frac{5x + 6y}{7x - 5y}\), chúng ta sẽ tìm \(P\) dưới điều kiện phương trình đã cho.

1. **Phân tích phương trình:**
\[
x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3 = 0
\]
Phương trình này có thể được phân tích bằng cách thử nghiệm với các giá trị cho \(x\) và \(y\), nhưng chúng ta có thể sử dụng lý thuyết geometry hoặc phương pháp khác.

2. **Chọn giá trị cho \(x\) và \(y\):**
Giả sử \(y = 0\), ta có:
\[
x^3 = 0 \Rightarrow x = 0
\]
Vậy \( (x, y) = (0, 0) \) là một nghiệm của phương trình.

Giả sử \(x = 0\), ta có:
\[
-8y^3 = 0 \Rightarrow y = 0
\]
Vậy nghiệm khác là \((0, 0)\).

Để khám phá thêm các nghiệm khác, chúng ta có thể xem phương trình này như một phương trình đa thức trong \(x/y\).

3. **Xét trường hợp \(y \neq 0\) và phân tích tỷ số:**
Đặt \( k = \frac{x}{y} \Rightarrow x = ky\). Thay vào phương trình:
\[
(ky)^3 - 6(ky)^2y + 12(ky)y^2 - 8y^3 = 0
\]
\[
k^3 y^3 - 6k^2 y^3 + 12k y^3 - 8y^3 = 0
\]
Chia cả hai bên cho \(y^3\) (với \(y \neq 0\)):
\[
k^3 - 6k^2 + 12k - 8 = 0
\]

4. **Giải phương trình bậc 3:**
Áp dụng định lý bậc 3 hoặc thử các giá trị \(k\):
\[
k = 2 \Rightarrow 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 12 \cdot 2 - 8 = 8 - 24 + 24 - 8 = 0
\]
Vậy \(k = 2\) là một nghiệm.

Sử dụng khai triển đa thức, ta có:
\[
(k - 2)(k^2 - 4k + 4) = 0
\]
Vậy nghiệm còn lại là \(k = 2\) (nhiệm kép).

5. **Xác định tỷ số \( P \):**
Khi \(k = \frac{x}{y} = 2\), ta có \(x = 2y\).
Thay vào \(P\):
\[
P = \frac{5(2y) + 6y}{7(2y) - 5y} = \frac{10y + 6y}{14y - 5y} = \frac{16y}{9y} = \frac{16}{9}
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:
\[
P = \frac{16}{9}
\]