Cho tam giác ABC cân tại A (AB>BC), có hai đường cao BE; CF, và điểm M bất kì trên cạnh BC. Vẽ MP vuông AB tại P, MQ vuông AC tại Q. Trên tia đối của tia MQ lấy điểm N sao cho MN=MP. Chứng minh rằng:

Để chứng minh các yêu cầu của bài toán, chúng ta cần xác định tính chất hình học của các đối tượng trong tam giác ABC cân và sử dụng một số kiến thức về hình học phẳng.

### a) Chứng minh tứ giác BEQN là hình chữ nhật.

1. **Xác định các góc**:
- Điểm P được xác định sao cho MP vuông góc với AB, nghĩa là góc AMP = 90°.
- Điểm Q được xác định sao cho MQ vuông góc với AC, tức là góc AMQ = 90°.

2. **Xét tam giác cân**:
- Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, do đó BE và CF là đường cao. Điều này tức là BE vuông góc với AC và CF vuông góc với AB:
- ⇒ ∠AFB = ∠ABE = 90° (tại điểm B).
- ⇒ ∠ACE = ∠CFA = 90° (tại điểm C).

3. **Chứng minh BE = QN**:
- Từ định nghĩa điểm N, ta có MN = MP. Do đó, đường thẳng MQ cũng vuông góc với AC như P vuông góc với AB. Điều này tạo thành các cặp góc vuông tại điểm Q và N.
- Vì MP vuông góc với AB, và N nằm trên tia đối tại MQ, có nghĩa là đó có góc ∠BQN = 90°.

4. **Tứ giác BEQN vuông góc tại B và N**:
- Từ mọi thông tin nói trên, có thể thấy rằng các cạnh BE và QN đều vuông góc với nhau (theo lý do M và P) và BE = QN, với các góc tương ứng bằng 90°.
- Vậy, tứ giác BEQN là một hình chữ nhật.

### b) Chứng minh MP + MQ = CF.

1. **Xét các đoạn thẳng**:
- Đặt MN = MP.
- MP vuông góc với AB và MQ vuông góc với AC.

2. **Sử dụng định lý Pythagoras**:
- Trong tam giác vuông AMP, chiều dài của MP tương ứng với chiều cao.
- Tương tự, trong tam giác vuông AMQ, chiều dài của MQ cũng tương ứng với chiều cao.
- Chúng ta có: \( CF = MP + MQ \) vì các đoạn MP và MQ là chiều cao của các tam giác tương ứng.

3. **Kết luận**:
- Vậy, từ sự chuyển giao và các tính chất của đường cao BE và CF, ta có thể kết luận rằng:
\[
MP + MQ = CF
\]

Từ đó, ta kết luận rằng cả hai điều cần chứng minh đã được chứng tỏ:
- Tứ giác BEQN là hình chữ nhật.
- MP + MQ = CF.