Để rút gọn biểu thức \( \frac{x}{x-y} + \frac{y}{x+y} + \frac{2y^2}{x^2 - y^2} \), chúng ta bắt đầu với việc nhận diện các phần tử trong biểu thức.

Đầu tiên, biểu thức có phần tử thứ ba là \( \frac{2y^2}{x^2 - y^2} \). Ta có thể biến đổi phần tử này như sau:

\[
x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)
\]

Vì vậy,

\[
\frac{2y^2}{x^2 - y^2} = \frac{2y^2}{(x-y)(x+y)}
\]

Chúng ta sẽ có biểu thức trở thành:

\[
\frac{x}{x-y} + \frac{y}{x+y} + \frac{2y^2}{(x-y)(x+y)}
\]

Tiếp theo, tìm mẫu chung là \( (x-y)(x+y) \):

\[
\frac{x(x+y)}{(x-y)(x+y)} + \frac{y(x-y)}{(x-y)(x+y)} + \frac{2y^2}{(x-y)(x+y)}
\]

Bây giờ, ta nhân các phần tử vào mẫu chung:

\[
= \frac{x(x+y) + y(x-y) + 2y^2}{(x-y)(x+y)}
\]

Tiến hành tính toán phần tử trên tử số:

\[
x(x+y) = x^2 + xy
\]

\[
y(x-y) = yx - y^2
\]

Kết hợp lại:

\[
x^2 + xy + yx - y^2 + 2y^2 = x^2 + 2xy + y^2
\]

Ta có:

\[
x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2
\]

Vậy, toàn bộ biểu thức trở thành:

\[
\frac{(x+y)^2}{(x-y)(x+y)}
\]

Rút gọn biểu thức:

\[
\frac{(x+y)}{(x-y)} \quad (x \neq -y)
\]

Vì vậy, biểu thức rút gọn cuối cùng là:

\[
\frac{x+y}{x-y} \quad (x \neq y)
\]