Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = \frac{n + 1}{n - 3} \) với \( n \in \mathbb{Z} \) và \( n \neq 0 \), trước hết chúng ta cần xác định miền xác định của hàm này.

Hàm \( A \) không xác định tại \( n = 3 \) vì mẫu bằng 0. Do đó, miền xác định của \( A \) là \( n \in \mathbb{Z} \) và \( n \neq 0, 3 \).

Tiếp theo, chúng ta có thể viết lại biểu thức:

\[
A = \frac{n + 1}{n - 3} = 1 + \frac{4}{n - 3}
\]

Qua đó, ta thấy rằng khi \( n \) tăng lên, \( n - 3 \) cũng sẽ tăng lên và do đó, \( \frac{4}{n - 3} \) sẽ giảm xuống. Ngược lại, khi \( n \) giảm xuống, \( n - 3 \) cũng giảm, khiến \( \frac{4}{n - 3} \) tăng lên.

Vì vậy, để tìm giá trị lớn nhất của \( A \), chúng ta cần xem xét các giá trị nguyên của \( n \) khác 0 và 3 và tính toán \( A \).

- Khi \( n = 1 \):

\[
A = \frac{1 + 1}{1 - 3} = \frac{2}{-2} = -1
\]

- Khi \( n = 2 \):

\[
A = \frac{2 + 1}{2 - 3} = \frac{3}{-1} = -3
\]

- Khi \( n = 4 \):

\[
A = \frac{4 + 1}{4 - 3} = \frac{5}{1} = 5
\]

- Khi \( n = 5 \):

\[
A = \frac{5 + 1}{5 - 3} = \frac{6}{2} = 3
\]

- Khi \( n = 6 \):

\[
A = \frac{6 + 1}{6 - 3} = \frac{7}{3} \approx 2.33
\]

- Các \( n > 6 \) sẽ làm giảm giá trị của \( A \) hơn nữa.

Tìm giá trị với các \( n < 1 \):

- Khi \( n = -1 \):

\[
A = \frac{-1 + 1}{-1 - 3} = \frac{0}{-4} = 0
\]

- Khi \( n = -2 \):

\[
A = \frac{-2 + 1}{-2 - 3} = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5} = 0.2
\]

- Khi \( n = -4 \):

\[
A = \frac{-4 + 1}{-4 - 3} = \frac{-3}{-7} = \frac{3}{7} \approx 0.428
\]

- Khi \( n = -5 \):

\[
A = \frac{-5 + 1}{-5 - 3} = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2} = 0.5
\]

Sau khi kiểm tra với các giá trị nguyên của \( n \), chúng ta thấy rằng giá trị lớn nhất của \( A \) xảy ra tại \( n = 4 \) với

\[
A_{max} = 5
\]

Do đó, giá trị của \( n \) để \( A \) có giá trị lớn nhất là \( n = 4 \).