Để chứng minh bài này, ta sẽ tiến hành từng phần một cách chi tiết:

### a) Chứng minh tứ giác BCPQ là hình thang

1. **Xét góc B:**
- Tia phân giác BD chia góc ∠ABC thành hai góc:
\[
\angle ABP = \angle CBP.
\]

2. **Góc tại P:**
- Từ P kẻ đường thẳng PQ vuông góc với AH, suy ra:
\[
\angle APQ = \angle CPQ = 90^\circ.
\]

3. **Sử dụng tính chất của góc:**
- Do đó, trong tứ giác BCPQ, ta có:
\[
\angle CBP = \angle APQ.
\]

4. **Kết luận:**
- Vậy tứ giác BCPQ có hai cạnh BC và PQ song song với nhau (bằng cách sử dụng định lý của góc đồng vị trong tam giác), do đó BCPQ là một hình thang.

### b) Chứng minh \( BQ = PQ \)

1. **Xét tam giác BAP và BCP:**
- Do BD là phân giác của góc B, áp dụng định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BP}{PC}.
\]

2. **Sử dụng tính chất hình thang:**
- Trong hình thang BCPQ, áp dụng định lý về độ dài các cạnh, dễ dàng nhận thấy rằng PQ song song với BC và khi chiều cao PD vuông góc, chiều dài PQ bằng với chiều dài BC.

3. **Kết luận:**
- Vì vậy, từ các yếu tố trên, ta có:
\[
BQ = PQ.
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh rằng tứ giác BCPQ là hình thang và \( BQ = PQ \).