Để khai triển hằng đẳng thức \((4x + 1)(16x^2 + 4x + 1)\), chúng ta sẽ sử dụng quy tắc phân phối (hay còn gọi là quy tắc nhân hai đa thức).

Bước 1: Nhân từng hạng tử của \((4x + 1)\) với từng hạng tử của \((16x^2 + 4x + 1)\).

- Nhân \(4x\) với từng hạng tử của \(16x^2 + 4x + 1\):
\[
4x \cdot 16x^2 = 64x^3
\]
\[
4x \cdot 4x = 16x^2
\]
\[
4x \cdot 1 = 4x
\]

- Nhân \(1\) với từng hạng tử của \(16x^2 + 4x + 1\):
\[
1 \cdot 16x^2 = 16x^2
\]
\[
1 \cdot 4x = 4x
\]
\[
1 \cdot 1 = 1
\]

Bước 2: Gộp kết quả lại:
\[
(4x + 1)(16x^2 + 4x + 1) = 64x^3 + 16x^2 + 4x + 16x^2 + 4x + 1
\]

Bước 3: Cộng các hạng tử lại:
\[
= 64x^3 + (16x^2 + 16x^2) + (4x + 4x) + 1
\]
\[
= 64x^3 + 32x^2 + 8x + 1
\]

Vậy:
\[
(4x + 1)(16x^2 + 4x + 1) = 64x^3 + 32x^2 + 8x + 1
\]