Để phân tích đa thức \( (2x - 6)(4x^2 + 1) - (2x - 6)(7x + 3) \), trước tiên, ta có thể thấy rằng biểu thức này có chung yếu tố \( (2x - 6) \). Vì vậy, ta có thể đưa yếu tố này ra ngoài.

Ta có thể viết lại như sau:

\[
(2x - 6) \left( (4x^2 + 1) - (7x + 3) \right)
\]

Bây giờ, ta sẽ tính giá trị của biểu thức trong ngoặc:

\[
(4x^2 + 1) - (7x + 3) = 4x^2 + 1 - 7x - 3 = 4x^2 - 7x - 2
\]

Vậy biểu thức ban đầu trở thành:

\[
(2x - 6)(4x^2 - 7x - 2)
\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ phân tích đa thức \( 4x^2 - 7x - 2 \). Để làm điều này, ta tìm hai số \( a \) và \( b \) sao cho:

- \( a \cdot b = 4 \cdot (-2) = -8 \)
- \( a + b = -7 \)

Hai số phù hợp là \( -8 \) và \( 1 \) (bởi vì \( -8 \cdot 1 = -8 \) và \( -8 + 1 = -7 \)).

Giờ đây, ta có thể viết lại \( -7x \):

\[
4x^2 - 8x + x - 2
\]

Bây giờ, nhóm các hạng tử:

\[
= (4x^2 - 8x) + (x - 2)
\]
\[
= 4x(x - 2) + 1(x - 2)
\]

Ta có thể tiếp tục phân tích bằng cách đưa \( (x - 2) \) ra ngoài:

\[
= (4x + 1)(x - 2)
\]

Cuối cùng, ta có biểu thức phân tích hoàn chỉnh:

\[
(2x - 6)(4x + 1)(x - 2)
\]

Vì \( 2x - 6 \) có thể viết lại thành \( 2(x - 3) \), do đó, biểu thức có thể viết lại dưới dạng:

\[
= 2(x - 3)(4x + 1)(x - 2)
\]

Đây là kết quả cuối cùng của việc phân tích đa thức ban đầu thành nhân tử.