Để chứng minh hai ý a) và b) trong bài toán đã cho, ta sẽ làm từng bước một.

**a) Chứng minh tứ giác BCPQ là hình thang:**

1. Từ P, đường thẳng vuông góc với AH cắt AB tại Q, suy ra PQ ⊥ AH.
2. Tia phân giác của góc B sẽ cắt AC tại P, do đó PV (với V là điểm thuộc AC) cũng có thể coi như là một đường phân giác.
3. Xét các tam giác BAH và CAH (được tạo bởi đường cao AH), có các góc tương ứng.
4. Vì PQ vuông góc với AH tại P, nên góc PAQ = góc PBH (cùng là góc ở điểm B cho tam giác ABC).
5. Suy ra hai góc này bằng nhau: góc PAQ = góc PBH.
6. Do đó, tứ giác BCPQ có một cặp cạnh đối diện (BC và PQ) song song với nhau.

=> Từ đó, tứ giác BCPQ là hình thang.

**b) Chứng minh BQ = PQ:**

1. Vì tứ giác BCPQ đã chứng minh là hình thang, mà PQ song song với BC, từ đó có thể sử dụng tính chất của hai đoạn thẳng bị cắt bởi hai đường thẳng song song.
2. Có ba tam giác tương ứng là BQH và PQH (H là giao điểm đường cao với BC).
3. Xét tam giác BHP và tam giác PHQ có chung cạnh HP và BQ = PQ.
4. Do đó, độ dài của hai đoạn thẳng này sẽ bằng nhau.

=> Kết luận BQ = PQ.

Tóm lại, ta đã chứng minh:
- Tứ giác BCPQ là hình thang.
- BQ = PQ.