Trong tam giác vuông ABC tại A, với H là chân đường cao từ A xuống cạnh BC, ta có các thông tin sau:

- \( BH = 4 \) cm
- \( CH = 2 \) cm

Đầu tiên, ta tính độ dài cạnh BC:
\[
BC = BH + CH = 4 \text{ cm} + 2 \text{ cm} = 6 \text{ cm}
\]

Sử dụng định lý về đường cao trong tam giác vuông:
\[
AH^2 = BH \cdot CH
\]

Tính độ dài AH:
\[
AH^2 = 4 \text{ cm} \cdot 2 \text{ cm} = 8 \text{ cm}^2
\]
\[
AH = \sqrt{8} \text{ cm} = 2\sqrt{2} \text{ cm}
\]

Tiếp theo, ta tính độ dài các cạnh AB và AC. Sử dụng định lý Pythagoras, ta có:
- \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \)
- \( AC^2 = AH^2 + CH^2 \)

Tính \( AB \):
\[
AB^2 = (2\sqrt{2})^2 + 4^2 = 8 + 16 = 24
\]
\[
AB = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{ cm}
\]

Tính \( AC \):
\[
AC^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 = 8 + 4 = 12
\]
\[
AC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ cm}
\]

Tóm lại, chúng ta có:
- \( AB = 2\sqrt{6} \) cm
- \( AC = 2\sqrt{3} \) cm
- \( AH = 2\sqrt{2} \) cm

Đáp án cuối cùng là:
- \( AB = 2\sqrt{6} \) cm
- \( AH = 2\sqrt{2} \) cm.