Để phân tích đa thức \( x^4 - 5x^3 - x + 5 \) thành nhân tử, ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Tìm nghiệm của đa thức**: Sử dụng định lý Bolzano hoặc thử các giá trị nguyên.

Thử giá trị \( x = 1 \):
\[
1^4 - 5 \cdot 1^3 - 1 + 5 = 1 - 5 - 1 + 5 = 0
\]
Vậy \( x = 1 \) là một nghiệm.

2. **Chia đa thức cho \( (x - 1) \)**: Sử dụng phép chia đa thức (chia có dư).

Chia \( x^4 - 5x^3 - x + 5 \) cho \( x - 1 \):

- Nhân \( (x-1) \) với \( x^3 \):
\[
x^3(x-1) = x^4 - x^3
\]
Trừ đi:
\[
(x^4 - 5x^3) - (x^4 - x^3) = -4x^3
\]

- Nhân \( (x-1) \) với \( -4x^2 \):
\[
-4x^2(x-1) = -4x^3 + 4x^2
\]
Trừ đi:
\[
(-4x^3 - x) - (-4x^3 + 4x^2) = -4x^2 - x
\]

- Nhân \( (x-1) \) với \( -4x \):
\[
-4x(x-1) = -4x^2 + 4x
\]
Trừ đi:
\[
(-4x^2 - x) - (-4x^2 + 4x) = -5x
\]

- Nhân \( (x-1) \) với \( -5 \):
\[
-5(x-1) = -5x + 5
\]
Trừ đi:
\[
(-5x + 5) - (-5x + 5) = 0
\]

Kết quả của phép chia là:
\[
x^4 - 5x^3 - x + 5 = (x - 1)(x^3 - 4x^2 - 5)
\]

3. **Phân tích tiếp \( x^3 - 4x^2 - 5 \)**:

Tiếp tục tìm nghiệm của \( x^3 - 4x^2 - 5 \). Thử giá trị \( x = 5 \):
\[
5^3 - 4 \cdot 5^2 - 5 = 125 - 100 - 5 = 20 \quad (\text{not a root})
\]
Thử giá trị \( x = -1 \):
\[
(-1)^3 - 4 \cdot (-1)^2 - 5 = -1 - 4 - 5 = -10 \quad (\text{not a root})
\]
Thử giá trị \( x = 2 \):
\[
2^3 - 4 \cdot 2^2 - 5 = 8 - 16 - 5 = -13 \quad (\text{not a root})
\]
Thử giá trị \( x = 3 \):
\[
3^3 - 4 \cdot 3^2 - 5 = 27 - 36 - 5 = -14 \quad (\text{not a root})
\]
Thử giá trị \( x = -5 \):
\[
(-5)^3 - 4 \cdot (-5)^2 - 5 = -125 - 100 - 5 = -230 \quad (\text{not a root})
\]

Cuối cùng, sau khi thử nghiệm không tìm thấy nghiệm dễ, ta có thể sử dụng phương pháp phân tích hoặc giải phương trình bậc ba.

4. **Kết luậ**: Đa thức đã phân tích thành nhân tử như sau:
\[
x^4 - 5x^3 - x + 5 = (x - 1)(x^3 - 4x^2 - 5)
\]

Để hoàn thành, ta cũng có thể sử dụng các phương pháp khác hoặc công cụ tính toán để phân tích sâu hơn \( x^3 - 4x^2 - 5 \) nhưng hình thức hiện tại là đủ để mô tả phân tích nhân tử cơ bản của đa thức.