Để chứng minh các hệ quả trong bài toán, ta sẽ sử dụng tính chất của các tam giác và đường thẳng song song:

### a. Chứng minh \(AD = EF\)

1. Gọi \(D\) là trung điểm của \(AB\), nghĩa là \(AD = DB\).
2. Đường thẳng qua \(D\) và song song với \(BC\) sẽ tạo thành một hình thang \(ADEB\), trong đó \(AD\) và \(EF\) là hai cạnh song song và bằng nhau (do \(D\) là trung điểm).
3. Vì \(D\) là trung điểm của \(AB\) và \(DE \parallel BC\) nên theo định lý Thales ta có:
\[
\frac{AD}{EF} = \frac{DB}{BC} \implies AD = EF
\]

### b. Chứng minh \(\triangle ADE \cong \triangle EFC\)

1. Do \(DE \parallel BC\) và \(EF \parallel AB\), ta có hai cặp góc tương ứng bằng nhau:
- \(\angle ADE = \angle EFC\) (góc so le trong)
- \(\angle DEA = \angle ECF\) (góc đồng vị)
2. Ta cũng đã chứng minh rằng \(AD = EF\).
3. Sử dụng tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh (CGC) để kết luận:
\[
\triangle ADE \cong \triangle EFC
\]

### c. Chứng minh \(AE = EC\) và \(BF = FC\)

1. Thừa nhận rằng \(\triangle ADE \cong \triangle EFC\) dẫn tới:
- Chiều dài các cạnh tương ứng bằng nhau: \(AE = EC\) và \(BF = FC\).
2. Theo kết quả của tam giác đã chứng minh, ta có:
- \(AE = EC\) từ tính chất của các cạnh trong tam giác.
- \(BF = FC\) tương tự từ các cạnh tương ứng của tam giác.

Dưới sự chỉ dẫn này, bạn đã hoàn thành chứng minh xác đáng cho các điểm đã nêu trong bài toán.