Tìm m để hệ phương trình có nghiệm bằng (x; y) thỏa mãn 2y = 1 - x

Để giải quyết hai bài toán trên, chúng ta sẽ tìm giá trị của m sao cho hệ phương trình có nghiệm (x,y) thỏa mãn các điều kiện cho trước.

### Bài 1:
Hệ phương trình là:
\[
\begin{cases}
mx + y = 5 \quad (1)\\
4x - my = 1 \quad (2)
\end{cases}
\]
Và điều kiện là \( 2y = 1 - x \).

Từ điều kiện \( 2y = 1 - x \), ta có:
\[
y = \frac{1 - x}{2} \quad (3)
\]

Thay (3) vào (1):
\[
mx + \frac{1-x}{2} = 5 \\
2mx + 1 - x = 10 \\
(2m - 1)x + 1 = 10 \\
(2m - 1)x = 9 \\
x = \frac{9}{2m - 1} \quad (4)
\]

Thay (4) vào (3) để tìm y:
\[
y = \frac{1 - \frac{9}{2m - 1}}{2} = \frac{(2m-1) - 9}{2(2m-1)} = \frac{2m - 10}{2(2m-1)} = \frac{m - 5}{2m - 1} \quad (5)
\]

Bây giờ ta thay (4) và (5) vào (2) để tìm m:
\[
4\left(\frac{9}{2m - 1}\right) - m\left(\frac{m - 5}{2m - 1}\right) = 1
\]

Rút gọn:
\[
\frac{36}{2m - 1} - \frac{m(m - 5)}{2m - 1} = 1 \\
\frac{36 - m(m - 5)}{2m - 1} = 1 \\
36 - m(m - 5) = 2m - 1 \\
36 + 1 = m^2 - 5m + 2m \\
m^2 - 3m - 37 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:
\[
m = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-37)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 148}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{157}}{2}
\]

### Bài 2:
Hệ phương trình là:
\[
\begin{cases}
4x - y = 11m - 17 \quad (1)\\
5x + 2y = 4m - 5 \quad (2)
\end{cases}
\]
Với điều kiện \( x^2 + 3y = 25 \).

Từ (1), ta có:
\[
y = 4x - (11m - 17) \quad (3)
\]

Thay (3) vào điều kiện \( x^2 + 3y = 25 \):
\[
x^2 + 3(4x - (11m - 17)) = 25
\]
\[
x^2 + 12x - 33m + 51 = 25 \\
x^2 + 12x - 33m + 26 = 0
\]

Để phương trình bậc hai có nghiệm (x, y), delta phải không âm:
\[
\Delta = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-33m + 26) \geq 0 \\
144 + 132m - 104 \geq 0 \\
132m + 40 \geq 0 \\
m \geq -\frac{40}{132} = -\frac{10}{33}
\]

Như vậy, để hệ phương trình có nghiệm (x,y) thỏa mãn các điều kiện trên, ta có:

- Bài 1: \( m = \frac{3 \pm \sqrt{157}}{2} \)
- Bài 2: \( m \geq -\frac{10}{33} \)