Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
mx + y = 5 \quad (1) \\
4x - my = 1 \quad (2)
\end{cases}
\]

ta sẽ tìm giá trị của \( m \) sao cho hệ phương trình này có nghiệm \( (x, y) \) thoả mãn điều kiện \( 2y = 1 - x \).

1. Từ điều kiện \( 2y = 1 - x \), ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \):

\[
y = \frac{1 - x}{2}
\]

2. Thay giá trị của \( y \) vào phương trình (1):

\[
mx + \frac{1 - x}{2} = 5
\]

Nhân toàn bộ phương trình với 2 để loại bỏ mẫu:

\[
2mx + 1 - x = 10
\]

Sắp xếp lại:

\[
(2m - 1)x + 1 = 10
\]

\[
(2m - 1)x = 9
\]

\[
x = \frac{9}{2m - 1} \quad (3)
\]

3. Tiếp tục, thay giá trị của \( y \) vào phương trình (2):

\[
4x - m\left(\frac{1 - x}{2}\right) = 1
\]

Nhân toàn bộ phương trình với 2:

\[
8x - m(1 - x) = 2
\]

Sắp xếp lại:

\[
8x - m + mx = 2
\]

\[
(8 + m)x = m + 2 \quad (4)
\]

4. Bây giờ ta có hai phương trình (3) và (4). Ta kết hợp chúng để tìm giá trị của \( m \):

Từ (3), ta có biết \( x \):

\[
x = \frac{9}{2m - 1}
\]

Thay vào (4):

\[
(8 + m)\left(\frac{9}{2m - 1}\right) = m + 2
\]

Nhân chéo:

\[
(8 + m) \cdot 9 = (m + 2)(2m - 1)
\]

Mở các phép toán ra:

\[
72 + 9m = 2m^2 + 4m - m - 2
\]

Sắp xếp lại:

\[
2m^2 - 4m - 74 = 0
\]

5. Giải phương trình bậc 2 này:

\[
m^2 - 2m - 37 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm:

\[
m = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-37)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 148}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{152}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{38}}{2} = 1 \pm \sqrt{38}
\]

Vậy nghiệm \( m \) là:

\[
m = 1 + \sqrt{38} \quad \text{hoặc} \quad m = 1 - \sqrt{38}
\]

Điều kiện trên cho phép hệ phương trình có nghiệm \( (x, y) \) thoả mãn \( 2y = 1 - x \).