Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số tính chất của hình thoi và hình học phẳng.

Gọi \( AC \) và \( BD \) lần lượt là hai đường chéo của hình thoi \( ABCD \). Giao điểm của chúng là điểm \( O \). Do tính chất của hình thoi, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi chéo, do đó:

\[
OA = OC = \frac{1}{2}AC \quad \text{và} \quad OB = OD = \frac{1}{2}BD
\]

Khi gọi độ dài đường chéo \( AC = 2p \) và \( BD = 2q \), ta có:

\[
OA = OC = p \quad \text{và} \quad OB = OD = q
\]

Bây giờ, để tính độ dài \( EF \) (là đoạn nối hai hình chiếu của \( O \) trên \( BC \) và \( CD \)), ta nhận xét rằng \( E \) và \( F \) là hình chiếu của \( O \) trên các cạnh \( BC \) và \( CD \). Để tính độ dài \( EF \), ta cần tìm độ dài này liên quan đến các cạnh và góc của hình thoi.

Theo đề bài, ta có:

\[
EF = \frac{1}{4} AC
\]

Với \( AC = 2p \), ta có:

\[
EF = \frac{1}{4} \times 2p = \frac{p}{2}
\]

Để tính \( EF \) theo góc, ta xem xét tam giác vuông \( OBC \) (hay \( OCD \)). Ta có \( OE \) và \( OF \) là đường cao từ \( O \) xuống \( BC \) và \( CD \).

Từ tính chất hình thoi, ta có thể thấy rằng các góc của hình thoi có những mối quan hệ nhất định với nhau. Giả sử góc \( AOB = \alpha \), tức là:

\[
\angle AOB = \angle COD = \alpha \quad \text{và} \quad \angle BOC = \angle DOA = 180^\circ - \alpha
\]

Khi đó, có:

\[
EF = OB \cdot \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) + OA \cdot \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) = (OB + OA) \cdot \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) = (p + q) \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)
\]

Từ \( EF = \frac{p}{2} \), ta có sự tương quan giữa \( p \), \( q \), và \( \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \). Để tìm các góc, cần thiết tính toán tỉ lệ các cạnh đồng thời với một số tính chất của hình thoi và hình chiếu. Điều này có thể phức tạp.

Tóm lại, để xác định góc của hình thoi, bạn nên có thêm một số thông tin cụ thể hơn về chiều dài cạnh hoặc góc giữa các cạnh và góc đó trong một bài toán cụ thể. Nếu biết thêm các thông số này hoặc có thể đi đến một câu hỏi chính xác hơn, hãy cung cấp để chúng ta có thể giải quyết một cách chính xác và rõ ràng hơn.