Để tính đa thức \( A \), chúng ta sẽ thực hiện từng bước một theo thứ tự trong biểu thức đã cho:

\[
A = (4x - 1)(3x + 1) - 5x(x - 3) - (x - 4)(x - 3)
\]

**Bước 1:** Tính \((4x - 1)(3x + 1)\):

\[
(4x - 1)(3x + 1) = 4x \cdot 3x + 4x \cdot 1 - 1 \cdot 3x - 1 \cdot 1 = 12x^2 + 4x - 3x - 1 = 12x^2 + x - 1
\]

**Bước 2:** Tính \(-5x(x - 3)\):

\[
-5x(x - 3) = -5x^2 + 15x
\]

**Bước 3:** Tính \(-(x - 4)(x - 3)\):

\[
-(x - 4)(x - 3) = -((x^2 - 3x - 4x + 12)) = -(x^2 - 7x + 12) = -x^2 + 7x - 12
\]

**Bước 4:** Gộp tất cả lại:

Bây giờ chúng ta thay thế các kết quả vào biểu thức của \( A \):

\[
A = (12x^2 + x - 1) + (-5x^2 + 15x) + (-x^2 + 7x - 12)
\]

**Bước 5:** Tính các hạng tử tương đồng:

\[
A = (12x^2 - 5x^2 - x^2) + (x + 15x + 7x) + (-1 - 12)
\]

\[
A = (12 - 5 - 1)x^2 + (1 + 15 + 7)x + (-1 - 12)
\]

\[
A = 6x^2 + 23x - 13
\]

Vậy nên, đa thức \( A \) là:

\[
\boxed{6x^2 + 23x - 13}
\]