Để tính chiều dài cạnh \( BC \) trong tam giác \( ABC \) với các thông tin đã cho, ta sử dụng định lý sin.

### Thông tin đã cho:
- \( \angle A = 32^\circ \)
- \( \angle B = 70^\circ \)
- \( AC = 12 \, \text{cm} \)

### Bước 1: Tính góc C
Góc \( C \) có thể tính bằng công thức:
\[
C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 32^\circ - 70^\circ = 78^\circ
\]

### Bước 2: Áp dụng định lý sin
Theo định lý sin, ta có:
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]
Với \( a = BC \), \( b = AC = 12 \, \text{cm} \), \( \angle A = 32^\circ \), \( \angle B = 70^\circ \) và \( \angle C = 78^\circ \).

### Bước 3: Tính chiều dài cạnh \( BC \):
\[
\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin C}
\]

Thay vào công thức:
\[
\frac{BC}{\sin(32^\circ)} = \frac{12}{\sin(78^\circ)}
\]

### Tính giá trị:
\[
BC = 12 \cdot \frac{\sin(32^\circ)}{\sin(78^\circ)}
\]

### Bước 4: Tính toán
- \( \sin(32^\circ) \approx 0.5299 \)
- \( \sin(78^\circ) \approx 0.9781 \)

Thay vào công thức:
\[
BC \approx 12 \cdot \frac{0.5299}{0.9781} \approx 6.49 \, \text{cm}
\]

### Kết luận:
Chiều dài cạnh \( BC \) ước tính là khoảng \( 6.49 \, \text{cm} \).