Để giải bài toán về tam giác ABC cân tại A và các phân giác B^ và C^ cắt nhau tại M và N, ta tiến hành như sau:

### a) Chứng minh ABM^ = ACN^:

Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, ta có:

- AB = AC (định nghĩa tam giác cân).

Do M và N là giao điểm của phân giác B^ và C^ với các cạnh AC và AB:

- Theo định nghĩa phân giác, ta có \(\frac{AM}{MB} = \frac{AC}{BC}\) và \(\frac{AN}{NC} = \frac{AB}{AC}\).

Vì \(\angle ABM = \angle ACN\) (điểm A là đỉnh của cạnh AB và AC), do đó ta có:

1. \(\angle ABM = \angle ACN\).
2. \(AB = AC\).

Căn cứ vào điều kiện tương ứng (1) và (2), ta suy ra được rằng:

\(\triangle ABM \cong \triangle ACN\) (do dấu gạch dưới, nhờ vào tiêu chí cạnh-góc-cạnh), do đó:

\(\angle ABM = \angle ACN\).

### b) Chứng minh tam giác AMN cân:

Để chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác cân, ta sẽ chứng minh rằng \(AM = AN\).

1. Xét điểm M là giao điểm của phân giác B^ cắt AC tại M.
2. Tương tự, điểm N là giao điểm của phân giác C^ cắt AB tại N.
3. Vì phân giác có tính chất chia cạnh đối diện theo tỉ lệ của hai cạnh liền kề, nên \(ABM \cong A^CN\).

Từ đó, ta có:

\(\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}\).

Vì AB = AC nên ta suy ra rằng:

\(AM = AN\).

Do đó tam giác AMN là tam giác cân tại A.

### c) Tứ giác BNMC:

Trong tứ giác BNMC:

- B, N, M, C là các điểm, với B và C nằm trên phân giác của tam giác.
- Do M nằm trên AC và N nằm trên AB nên các đoạn BM và CN là các đoạn vuông góc với các cạnh tương ứng.

Tuy nhiên, để chứng minh BNMC là hình gì, ta cần áp dụng tính chất của các đoạn thẳng và các đường chéo.

Do AM = AN, và BNC = MCB, nên tứ giác BNMC là hình thang.

Vậy tứ giác BNMC chính là một hình thang (có hai cạnh bên song song).

### Kết luận:

a) \( \triangle ABM \cong \triangle ACN\).

b) Tam giác AMN cân.

c) Tứ giác BNMC là hình thang.