Gọi số học sinh giỏi là \( x \), số học sinh khá là \( y \), số học sinh trung bình là \( z \), và số học sinh yếu là \( e \).

Theo đề bài, chúng ta có các thông tin sau:

1. Tổng số học sinh: \( x + y + z + e = 41 \)
2. Số học sinh giỏi bằng \( \frac{2}{3} \) số học sinh khá: \( x = \frac{2}{3} y \)
3. Số học sinh khá bằng \( \frac{3}{4} \) số học sinh trung bình: \( y = \frac{3}{4} z \)
4. Số học sinh yếu là 4 hoặc 5 em: \( e = 4 \) hoặc \( e = 5 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm giá trị của \( e \).

### Trường hợp 1: \( e = 4 \)

Thay \( e = 4 \) vào phương trình tổng số học sinh:
\[
x + y + z + 4 = 41 \implies x + y + z = 37
\]

Thay \( x = \frac{2}{3} y \) vào phương trình trên:
\[
\frac{2}{3} y + y + z = 37
\]
Biến đổi phương trình:
\[
\frac{5}{3} y + z = 37 \implies z = 37 - \frac{5}{3}y
\]

Thay \( y = \frac{3}{4} z \):
\[
y = \frac{3}{4} (37 - \frac{5}{3} y)
\]
Giải phương trình:
\[
y = \frac{3}{4} \cdot 37 - \frac{5}{4} y
\]
Tính toán:
\[
y + \frac{5}{4}y = \frac{3}{4} \cdot 37
\]
\[
\frac{9}{4}y = \frac{111}{4} \implies y = 12.33
\]
Giá trị \( y \) không hợp lệ (phải là số nguyên).

### Trường hợp 2: \( e = 5 \)

Thay \( e = 5 \) vào phương trình tổng số học sinh:
\[
x + y + z + 5 = 41 \implies x + y + z = 36
\]

Áp dụng các biến đổi như ở trên, từ \( x = \frac{2}{3} y \):
\[
\frac{2}{3} y + y + z = 36
\]
Biến đổi phương trình:
\[
\frac{5}{3} y + z = 36 \implies z = 36 - \frac{5}{3}y
\]

Thay \( y = \frac{3}{4} z \):
\[
y = \frac{3}{4} (36 - \frac{5}{3} y)
\]
Giải phương trình:
\[
y = \frac{3}{4} \cdot 36 - \frac{5}{4} y
\]
Tính toán:
\[
y + \frac{5}{4} y = \frac{3}{4} \cdot 36
\]
\[
\frac{9}{4} y = 27 \implies y = 12
\]

Bây giờ, thay \( y \) vào để tìm \( x \) và \( z \):
\[
x = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8
\]
\[
z = 36 - \frac{5}{3} \cdot 12 = 36 - 20 = 16
\]

Vậy, các số học sinh từng loại sẽ là:
- Số học sinh giỏi: \( x = 8 \)
- Số học sinh khá: \( y = 12 \)
- Số học sinh trung bình: \( z = 16 \)
- Số học sinh yếu: \( e = 5 \)

**Kết quả cuối cùng:**
- Số học sinh giỏi: 8 em
- Số học sinh khá: 12 em
- Số học sinh trung bình: 16 em
- Số học sinh yếu: 5 em