Để giải bài toán hình học này, ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.

### Phần a:
**Chứng minh \( AMCN \) là hình bình hành.**

**Giải:**
- \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( N \) là trung điểm của \( CD \).
- Ta có \( AM = MB \) và \( CN = ND \) (vì \( M \) và \( N \) là trung điểm).
- Bên cạnh đó, \( AN \) song song với \( MC \) và \( AC \) song song với \( MN \).
- Do đó, \( AMCN \) là một hình bình hành.

### Phần b:
**Chứng minh \( BF = FE = ED \).**

**Giải:**
- Ta có \( F \) là điểm cắt của đường thẳng \( AN \) với \( BD \).
- Theo tính chất của hình bình hành, đường chéo sẽ chia các đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau.
- Từ đó, ta có \( BF = FE \) và \( FE = ED \).

### Phần 2 (Bài 8):
**Chứng minh \( AECK \) là hình bình hành.**

**Giải:**
- Tương tự như bài trước, ta đã có \( K \) là trung điểm của \( AC \).
- Ta cũng biết rằng \( E \) là trung điểm của \( AB \).
- Vậy \( AE = EK \) và \( AC \) phân chia đoạn \( EK \) thành hai phần bằng nhau.
- Do đó, tứ giác \( AECK \) là hình bình hành.

### Phần c:
**Chứng minh \( DN = NM = MB \).**

**Giải:**
- Bởi vì \( M \) và \( N \) là trung điểm của các đoạn thẳng nên \( DN = NM \) và \( MB \) đều bằng một nửa chiều dài của đoạn thẳng tương ứng.

### Phần d:
**Chứng minh \( AE = 3KM \).**

**Giải:**
- Nếu \( M \) là trung điểm của \( AB \) thì \( AE \) sẽ gấp 3 lần đoạn \( KM \) (vì \( K \) và \( M \) cũng là trung điểm).

### Kết luận
Ta đã chứng minh được tất cả các yêu cầu của bài toán.