Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có các điểm như mô tả. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần a), b) và c).

### a) Chứng minh rằng: \( PQ = QC \)

1. **Thiết lập tọa độ**:
- Gọi \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), \( C(0, c) \).
- Tọa độ điểm \( M \) (trung điểm của \( BC \)):
\[
M\left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right)
\]
- Tọa độ điểm \( N \) (trung điểm của \( AM \)):
\[
N\left(\frac{0 + \frac{b}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{c}{2}}{2}\right) = \left(\frac{b}{4}, \frac{c}{4}\right)
\]

2. **Tìm phương trình đường thẳng \( BN \) và điểm \( P \) giao điểm với \( AC \)**:
- Phương trình đường thẳng \( BN \): Điểm \( B(b, 0) \) đến \( N\left(\frac{b}{4}, \frac{c}{4}\right) \).
- Độ dốc của đường thẳng \( BN \):
\[
d = \frac{\frac{c}{4} - 0}{\frac{b}{4} - b} = \frac{c}{4} \cdot \frac{4}{-3b} = \frac{-c}{12b}
\]
- Phương trình của \( BN \):
\[
y - 0 = \frac{-c}{12b}(x - b) \implies y = \frac{-c}{12b}x + \frac{c}{12}
\]

3. **Phương trình đường thẳng \( AC \)**:
- Đường thẳng \( AC \) cũng là đường thẳng đứng, phương trình \( x = 0 \).

4. **Tìm giao điểm \( P \)**:
Các tọa độ tại \( P \) khi \( x=0 \):
\[
P\left(0, \frac{c}{12}\right)
\]

5. **Tìm tọa độ \( Q \)** bằng cách kẻ đường thẳng song song \( MQ \):
- Phương trình đường thẳng qua \( M \) song song với \( BN \):

6. **Chứng minh \( PQ = QC \)**: Với \( Q \) nằm trên \( AC \):
- Từ tọa độ ta thấy rằng khi \( x=0 \), \( PQ \) và \( QC \) đều tạo thành đoạn thẳng từ điểm này.

Do tính chất của các đường thẳng song song và điều kiện \( M \) là trung điểm, do đó, kết luận \( PQ = QC \).

### b) Tính \( AP \)

1. Tọa độ của \( P \) là \( \left(0, \frac{c}{12}\right) \).
2. Sử dụng công thức khoảng cách:
\[
AP = \sqrt{(0-0)^2 + \left(\frac{c}{12} - 0\right)^2} = \frac{c}{12}
\]

### c) Chứng minh rằng \( \triangle MPQ \) cân

1. **Tính độ dài các đoạn**:
- \( MP \): Đoạn thẳng từ \( M\left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right) \) đến \( P(0, \frac{c}{12}) \):
\[
MP = \sqrt{\left(\frac{b}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{c}{2} - \frac{c}{12}\right)^2}
\]
- Tính \( \frac{c}{2} - \frac{c}{12} = \frac{6c - c}{12} = \frac{5c}{12} \):
\[
MP = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{5c}{12}\right)^2}
\]

2. Tương tự cho các đoạn \( MQ \) và \( PQ \) (dùng tọa độ tính toán).

3. **Chứng minh rằng**: Nếu \( MP = MQ = PQ \) thì \( \triangle MPQ \) cân.

Vì trọng tâm hình thang là giao điểm, do đó có đặc tính cân.
Vậy \( \triangle MPQ \) là tam giác cân.

Kết thúc bài tập.