Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
(m + 1)x + 2ny = 2 \\
3mx + (n - 2)y = 9
\end{cases}
\]

### a) Giải hệ phương trình với \( m = 1 \) và \( n = -3 \)

Thay \( m = 1 \) và \( n = -3 \):

\[
\begin{cases}
(1 + 1)x + 2(-3)y = 2 \\
3(1)x + (-3 - 2)y = 9
\end{cases}
\]

Hệ phương trình trở thành:

\[
\begin{cases}
2x - 6y = 2 \quad (1) \\
3x - 5y = 9 \quad (2)
\end{cases}
\]

**Giải phương trình (1):**

Từ phương trình (1):

\[
2x - 6y = 2 \implies x - 3y = 1 \implies x = 3y + 1 \quad (3)
\]

**Thay (3) vào (2):**

\[
3(3y + 1) - 5y = 9
\]
\[
9y + 3 - 5y = 9 \implies 4y = 6 \implies y = \frac{3}{2}
\]

**Thay \( y \) vào (3) để tìm \( x \):**

\[
x = 3 \cdot \frac{3}{2} + 1 = \frac{9}{2} + 1 = \frac{11}{2}
\]

Vậy nghiệm của hệ với \( m = 1 \) và \( n = -3 \) là:

\[
\left( x, y \right) = \left( \frac{11}{2}, \frac{3}{2} \right)
\]

### b) Tìm \( m, n \) để hệ có nghiệm \( x = 3 \), \( y = -1 \)

Thay \( x = 3 \) và \( y = -1 \) vào hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
(m + 1) \cdot 3 + 2n(-1) = 2 \\
3m \cdot 3 + (n - 2)(-1) = 9
\end{cases}
\]

**Phương trình đầu tiên:**

\[
3(m + 1) - 2n = 2
\]
\[
3m + 3 - 2n = 2 \implies 3m - 2n = -1 \quad (4)
\]

**Phương trình thứ hai:**

\[
9m - (n - 2) = 9
\]
\[
9m - n + 2 = 9 \implies 9m - n = 7 \quad (5)
\]

Giải hệ phương trình (4) và (5):

Từ (5), biểu diễn \( n \):

\[
n = 9m - 7 \quad (6)
\]

Thay (6) vào (4):

\[
3m - 2(9m - 7) = -1
\]
\[
3m - 18m + 14 = -1 \implies -15m + 14 = -1
\]
\[
-15m = -15 \implies m = 1
\]

Từ (6), tính \( n \):

\[
n = 9(1) - 7 = 2
\]

Vậy \( m, n \) là:

\[
(m, n) = (1, 2)
\]