Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABCD) bằng

Để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (ABCD) trong hình chóp S.ABCD, ta có thể sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Trước tiên, chúng ta cần xác định tọa độ của các điểm trong không gian 3 chiều dựa trên thông tin cho sẵn:

1. Giả sử A nằm tại (0, 0, 0).
2. Điểm B sẽ ở (a√2, 0, 0), do AB = a√2.
3. Điểm D sẽ ở (0, a, 0), do AD = a.
4. Điểm C nằm đối diện với A trong đáy hình chữ nhật, nên C sẽ là (a√2, a, 0).
5. Điểm S nằm trực tiếp trên điểm C với khoảng cách cao SC = 2a, nên S có tọa độ (a√2, a, 2a).

Bây giờ, chúng ta cần tìm phương trình mặt phẳng (ABCD). Mặt phẳng này được xác định bởi ba điểm A, B, và D. Ta có thể tìm vec-tơ AB và AD:

- Vec-tơ AB: \( \overrightarrow{AB} = (a\sqrt{2} - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (a\sqrt{2}, 0, 0) \)
- Vec-tơ AD: \( \overrightarrow{AD} = (0 - 0, a - 0, 0 - 0) = (0, a, 0) \)

Lấy tích có hướng của hai vec-tơ này để tìm vec-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD):

\[
\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a\sqrt{2} & 0 & 0 \\
0 & a & 0
\end{vmatrix}
\]

Tính định thức:

\[
= \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(a\sqrt{2} \cdot 0 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(a\sqrt{2} \cdot a - 0 \cdot 0)
\]

\[
= (0, 0, a^2\sqrt{2})
\]

Vậy, vec-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD) là \( (0, 0, a^2\sqrt{2}) \) và phương trình mặt phẳng (ABCD) có dạng \( 0x + 0y + z = 0 \) hoặc đơn giản là \( z = 0 \).

Cuối cùng, khoảng cách từ điểm A (0, 0, 0) đến mặt phẳng z = 0 chính là độ cao của A đối với mặt phẳng này. Khoảng cách này là 0 (do A nằm trên mặt phẳng).

Do đó, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABCD) là:

\[
\text{Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABCD) = 0.}
\]