Để xác định mệnh đề nào sai, ta cần phân tích các mệnh đề được đưa ra:

A. \( d \) bằng khoảng cách từ điểm bất kỳ trên \( \Delta \) đến \( (\alpha) \).

B. \( d \) bằng khoảng cách từ điểm bất kỳ trên \( (\alpha) \) đến \( \Delta \).

C. \( d \) bằng khoảng cách từ mặt phẳng \( (\beta) \) đến \( (\alpha) \) là mặt phẳng chứa \( \Delta \) và song song với \( (\alpha) \).

D. \( d \) bằng khoảng cách giữa \( \Delta \) và hình chiếu vuông góc của \( \Delta \) lên \( (\alpha) \).

**Phân tích:**
- **Mệnh đề A:** Đúng, vì khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng là khoảng cách từ điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng.
- **Mệnh đề B:** Đúng, vì khoảng cách từ mặt phẳng đến đường thẳng cũng được định nghĩa tương tự.
- **Mệnh đề C:** Sai, vì \( d \) không thể được xác định dựa trên khoảng cách giữa hai mặt phẳng mà không xét đến khoảng cách từ mặt phẳng chứa \( \Delta \) đến mặt phẳng \( (\alpha) \).
- **Mệnh đề D:** Đúng, vì khoảng cách này được định nghĩa là khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng thông qua hình chiếu vuông góc.

**Kết luận:** Mệnh đề **C** là mệnh đề sai.