Để phân tích đa thức \( x^{12} - 3x^6 - 1 \) thành nhân tử, chúng ta có thể thực hiện một phép thay thế biến. Gọi \( y = x^6 \). Khi đó, đa thức trở thành:

\[
y^2 - 3y - 1
\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tìm nghiệm của phương trình \( y^2 - 3y - 1 = 0 \). Công thức nghiệm là:

\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong đó \( a = 1, b = -3, c = -1 \). Thay các giá trị này vào công thức, ta có:

\[
y = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}
\]

Vậy, hai nghiệm của phương trình là:

\[
y_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \quad y_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}
\]

Do đó, ta có thể viết trở lại đa thức ban đầu theo dạng:

\[
y^2 - 3y - 1 = (y - y_1)(y - y_2)
\]

Khi thay \( y = x^6 \), ta có:

\[
x^{12} - 3x^6 - 1 = \left(x^6 - \frac{3+\sqrt{13}}{2}\right) \left(x^6 - \frac{3-\sqrt{13}}{2}\right)
\]

Cuối cùng, đa thức \( x^{12} - 3x^6 - 1 \) được phân tích thành nhân tử như sau:

\[
x^{12} - 3x^6 - 1 = \left( x^6 - \frac{3+\sqrt{13}}{2} \right) \left( x^6 - \frac{3-\sqrt{13}}{2} \right)
\]

Đây là kết quả cuối cùng của việc phân tích đa thức thành nhân tử.