Để tìm số tự nhiên \( a \) thỏa mãn các điều kiện đã cho, chúng ta sẽ xem xét từng điều kiện một.

### a) \( (a^2 + 3a + 12) \) chia hết \( (a + 1) \)

Ta dùng định lý chia:

Chia \( a^2 + 3a + 12 \) cho \( a + 1 \):
- Số nguyên chia cho \( a + 1 \) sẽ cho ra số dư. Theo định lý chia, ta xét \( a = -1 \) (giá trị làm cho mẫu số bằng 0) vào biểu thức trên để tìm số dư:
\[
P(-1) = (-1)^2 + 3 \cdot (-1) + 12 = 1 - 3 + 12 = 10
\]
Do đó, để \( (a^2 + 3a + 12) \) chia hết cho \( (a + 1) \), chúng ta cần \( 10 = 0 \), không thể đạt được.

Vậy \( a^2 + 3a + 12 \) không có số tự nhiên \( a \) nào thỏa mãn điều kiện này.

### b) \( (2a^2 + 10a + 51) \) chia hết \( (a + 2) \)

Chúng ta cũng áp dụng phương pháp tương tự ở phần a. Ta sẽ tính giá trị at `(-2)`:

\[
P(-2) = 2(-2)^2 + 10(-2) + 51 = 2 \cdot 4 - 20 + 51 = 8 - 20 + 51 = 39
\]
Để \( (2a^2 + 10a + 51) \) chia hết cho \( (a + 2) \), ta cần \( 39 = 0 \). Điều này cũng không thể.

Vậy không có số tự nhiên \( a \) nào đạt yêu cầu ở phần b.

### c) \( (a + 5) \) chia hết \( (a^2 + 1) \)

Ta xét điều kiện này bằng cách xét số chia:
\( a^2 + 1 \div (a + 5) \). Ta tính giá trị ở \( a = -5 \):

\[
P(-5) = (-5)^2 + 1 = 25 + 1 = 26
\]
Tương tự, muốn \( a + 5 | a^2 + 1 \) thì cần \( 26 = 0 \). Điều này cũng không thể đạt được.

Tóm lại, qua các phân tích trên, không có số tự nhiên nào \( a \) thỏa mãn các điều kiện \( a \), \( b \), và \( c \) trong bài toán.