Để giải hệ phương trình với \( m = 2 \), ta thay \( m \) vào hệ phương trình đã cho:

\[
\begin{cases}
(2 + 1)x + 2y = 5 \\
(2)x - y = 1
\end{cases}
\]

Thay \( m = 2 \) vào phương trình đầu tiên ta có:

\[
3x + 2y = 5 \quad (1)
\]

Phương trình thứ hai là:

\[
2x - y = 1 \quad (2)
\]

Giải hệ phương trình này:

Từ (2), ta biểu diễn \( y \):

\[
y = 2x - 1 \quad (3)
\]

Thay (3) vào (1):

\[
3x + 2(2x - 1) = 5
\]

Giải phương trình này:

\[
3x + 4x - 2 = 5 \\
7x - 2 = 5 \\
7x = 7 \\
x = 1
\]

Thay giá trị của \( x \) vào (3):

\[
y = 2(1) - 1 = 1
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[
(x, y) = (1, 1)
\]

### Tóm tắt kết quả:
1. Nghiệm của hệ phương trình với \( m = 2 \) là \( (1, 1) \).
2. Để tìm các giá trị nguyên \( m \) có nghiệm nguyên, ta cần giải lại hệ phương trình tổng quát với điều kiện \( m \in \mathbb{Z} \) và kiểm tra các hệ số để đảm bảo có nghiệm nguyên.