Để tìm số tự nhiên \( a \) sao cho \( (a^2 + 3a + 12) \) chia hết cho \( (a + 1) \), chúng ta có thể sử dụng định lý phần dư. Theo định lý này, nếu \( P(a) \) là một đa thức và \( P(x) \) chia hết cho \( (x - c) \), thì \( P(c) = 0 \).

Trong trường hợp này, quy tắc tương tự là xem xét phần dư của \( P(a) = a^2 + 3a + 12 \) khi chia cho \( (a + 1) \).

Đầu tiên, ta sẽ thay \( a = -1 \) vào đa thức \( P(a) \):

\[
P(-1) = (-1)^2 + 3(-1) + 12 = 1 - 3 + 12 = 10
\]

Ta thấy \( P(-1) = 10 \), không bằng 0, cho nên \( P(a) \) không chia hết cho \( (a + 1) \).

Tiếp theo, để \( P(a) \) chia hết cho \( (a + 1) \), phần dư phải bằng 0. Để tìm giá trị của \( a \), ta sẽ thực hiện phép chia:

1. Chia \( P(a) \) cho \( (a + 1) \):
- Thực hiện phép chia \( a^2 + 3a + 12 \) cho \( a + 1 \):

\[
a^2 + 3a + 12 = (a + 1)(a + 2) + 10
\]

Đây có nghĩa là:

\[
P(a) = (a + 1)(a + 2) + 10
\]

2. Ta thấy rằng phần dư của phép chia là 10. Để \( (a^2 + 3a + 12) \) chia hết cho \( (a + 1) \), ta cần \( 10 = 0 \), điều này không thể xảy ra. Do đó, không tồn tại \( a \) nào thỏa mãn yêu cầu.

Vì vậy, không có số tự nhiên \( a \) nào sao cho \( (a^2 + 3a + 12) \) chia hết cho \( (a + 1) \).