Để giải bài toán chúng ta có tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), với \( AB = 12 \, \text{cm} \) và \( AC = 6 \, \text{cm} \).

### a) Tính BC, AH, HB, HC

1. **Tính BC:**

Sử dụng định lý Pythagore:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = 12^2 + 6^2 = 144 + 36 = 180
\]
\[
BC = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \approx 13.42 \, \text{cm}
\]

2. **Tính AH (đường cao từ A xuống BC):**

Diện tích tam giác \( ABC \) có thể tính qua cạnh đáy \( BC \) và chiều cao \( AH \):

\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36 \, \text{cm}^2
\]

Cùng lúc, diện tích cũng có thể tính bằng cách:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH
\]
Suy ra:

\[
36 = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{5} \cdot AH
\]
\[
36 = 3\sqrt{5} \cdot AH
\]
\[
AH = \frac{36}{3\sqrt{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}} \approx 5.37 \text{ cm}
\]

3. **Tính HB và HC:**

Sử dụng tỉ lệ theo đường cao:

Tỉ lệ:

\[
\frac{AH}{HB} = \frac{AC}{AB} \Rightarrow HB = \frac{AB \cdot AH}{AC} = \frac{12 \cdot \frac{12}{\sqrt{5}}}{6} = \frac{24}{\sqrt{5}} \approx 10.75 \, \text{cm}
\]

Suy ra:

\[
HB = \frac{AB \cdot AH}{AC} = \frac{12 \cdot \frac{12}{\sqrt{5}}}{6} = \frac{24}{\sqrt{5}} \text{ cm} \approx 10.75 \text{ cm}
\]

Tính \( HC \):

\[
HC = \frac{AC \cdot AH}{AB} = \frac{6 \cdot \frac{12}{\sqrt{5}}}{12} = \frac{6}{\sqrt{5}} \approx 2.68 \, \text{cm}
\]

**Tóm lại:**
- \( BC = 6\sqrt{5} \, \text{cm} \)
- \( AH \approx 5.37 \, \text{cm} \)
- \( HB \approx 10.75 \, \text{cm} \)
- \( HC \approx 2.68 \, \text{cm} \)

### b) Tính các tỉ số lượng giác của góc B và góc C

**1. Tính tỉ số lượng giác của góc B:**

- Sin:
\[
\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{6}{6\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.447
\]

- Cos:
\[
\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{12}{6\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \approx 0.894
\]

- Tan:
\[
\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 0.5
\]

**2. Tính tỉ số lượng giác của góc C:**

- Sin:
\[
\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{12}{6\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \approx 0.894
\]

- Cos:
\[
\cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{6}{6\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.447
\]

- Tan:
\[
\tan C = \frac{AB}{AC} = \frac{12}{6} = 2
\]

**Tóm lại:**
- Tỉ số lượng giác của góc \( B \):
- \( \sin B \approx 0.447, \cos B \approx 0.894, \tan B = 0.5 \)

- Tỉ số lượng giác của góc \( C \):
- \( \sin C \approx 0.894, \cos C \approx 0.447, \tan C = 2 \)