Để tìm số tự nhiên \( a \) sao cho biểu thức \( 2a^2 + 10a + 51 \) chia hết cho \( a + 2 \), ta có thể sử dụng định lý dư. Định lý này nói rằng nếu \( P(a) \) là một đa thức và \( P(x) \) chia hết cho \( x - r \), thì \( P(r) = 0 \).

Trong trường hợp này, ta cần tính giá trị của đa thức \( P(a) = 2a^2 + 10a + 51 \) tại \( a = -2 \) để biết nó có chia hết cho \( a + 2 \) hay không.

Tính giá trị của đa thức tại \( a = -2 \):

\[
P(-2) = 2(-2)^2 + 10(-2) + 51
\]

Tính từng phần:

\[
= 2 \cdot 4 - 20 + 51
\]
\[
= 8 - 20 + 51
\]
\[
= 39
\]

Bây giờ, ta kiểm tra xem 39 có chia hết cho \( a + 2 \) hay không (tức là kiểm tra chia hết cho 0, vì \( a + 2 \) với \( a = -2 \) cho ra giá trị 0). Để tìm \( a \) với \( 2a + 10 \) chia hết cho \( 39 \).

Chúng ta cần tìm các giá trị tự nhiên \( a \) nào sẽ làm cho \( 39 \) có dạng \( k(a + 2) \), tức là tìm \( a+2 \) chia hết cho \( 39 \).

Để làm phần này đơn giản hơn, ta cần xem \( 39 = a + 2 \), tức là:

\[
a = 39 - 2 = 37
\]

Hoặc các bội của \( 39 \):

1. \( a + 2 = 1 \) (không thích hợp vì \( a \) phải là số tự nhiên)
2. \( a + 2 = 3 \) => \( a = 1 \)
3. \( a + 2 = 13 \) => \( a = 11 \)
4. \( a + 2 = 39 \) => \( a = 37 \)

Vì vậy, các giá trị tự nhiên \( a \) thỏa mãn điều kiện trên là:

\[
a = 1, 11, 37
\]

Tóm lại, các số tự nhiên \( a \) sao cho \( 2a^2 + 10a + 51 \) chia hết cho \( a + 2 \) là \( a = 1, 11, 37 \).