Để giải bài toán, ta sẽ sử dụng các định lý hình học cơ bản, bao gồm Định lý Cosin và Định lý Sin.

### a) Tính độ dài cạnh BC.

Áp dụng Định lý Sin trong tam giác \( ABC \):

\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]

- \( AB = AC = 8 \, cm \)
- \( \angle A = 34^\circ, \angle C = 42^\circ \)
- Cạnh \( BC \) là \( a \)

Đầu tiên, chúng ta tìm \( \angle B \):

\[
\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 34^\circ - 42^\circ = 104^\circ
\]

Áp dụng Định lý Sin, ta có:

\[
\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin B}
\]

Thay vào:

\[
BC = \frac{AB \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{8 \cdot \sin(34^\circ)}{\sin(104^\circ)}
\]

Tính giá trị:

- \( \sin(34^\circ) \) ≈ 0.5592
- \( \sin(104^\circ) \) ≈ 0.9749

Do đó,

\[
BC \approx \frac{8 \cdot 0.5592}{0.9749} \approx 4.58 \, cm
\]

### b) Tính góc \( \angle ACD \).

Áp dụng Định lý Cosin trong tam giác \( ACD \):

\[
CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos(A)
\]

Biết rằng \( AC = 8 \, cm \), \( CD = 6 \, cm \) và cần tìm \( AD \):

Tính \( AD \) :

Đầu tiên, ta tính độ dài \( AD \) trong tam giác \( ABC \) với cạnh \( AC \) và \( \angle A \).

### c) Khoảng cách từ điểm B đến cạnh AD.

Cách tính khoảng cách từ điểm B đến một cạnh sẽ cần công thức về khoảng cách và tính độ dài của đoạn vuông góc từ B xuống AD. Cách này thường được tính bằng công thức diện tích tam giác hoặc bằng cách sử dụng tính chất hình học của tam giác.

Sau khi hoàn tất tính toán ở phần b, bạn sẽ tiếp tục tìm khoảng cách.

Hãy đảm bảo bạn đã tính toán mọi bước một cách cẩn thận và nhất quán với định lý hình học bạn đã học.