Để giải bài toán về tam giác \(ABC\) với các thông tin đã cho, chúng ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### a) Tính \(BC\), \(AH\), \(BH\)

1. **Tính độ dài \(BC\)**:
Ta sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \(ABC\):
\[
BC = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}
\]

2. **Tính cao \(AH\)**:
Diện tích của tam giác \(ABC\) có thể tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54 \text{ cm}^2
\]
Diện tích cũng có thể tính bằng cách sử dụng chiều cao \(AH\):
\[
S = \frac{1}{2} \times BC \times AH \implies 54 = \frac{1}{2} \times 15 \times AH \implies AH = \frac{54 \times 2}{15} = \frac{108}{15} = 7.2 \text{ cm}
\]

3. **Tính độ dài \(BH\)**:
Trong tam giác vuông \(ABC\), chiều cao \(AH\) chia \(BC\) thành hai đoạn \(BH\) và \(HC\). Ta có:
- \(BH = \frac{AC \cdot AB}{BC} = \frac{12 \cdot 9}{15} = \frac{108}{15} = 7.2 \text{ cm}\)
- \(HC = BC - BH = 15 - 7.2 = 7.8 \text{ cm}\)

### b) Với điểm \(M\) là trung điểm của \(BC\)

- \(M\) chia \(BC\) thành hai đoạn \(BM\) và \(MC\):
\[
BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ cm}
\]

- Ta biết rằng \(Mx \perp BC\). Giả sử đường thẳng \(Mx\) cắt \(BA\) tại \(D\) và cắt \(AC\) tại \(E\).

### c) Tính độ dài \(AD\)

- Để làm điều này, ta phải áp dụng tính chất của tam giác vuông và một số định lý liên quan đến đường cao từ đỉnh vuông.

### d) Chứng minh \(BE \perp DC\)

- Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(Mx \perp BC\), ta có thể chứng minh rằng \(BE\) vuông góc với \(DC\) bằng cách xem xét tam giác \(BMD\) và \(BAM\) để áp dụng các tính chất về hình học.

Cuối cùng, để kết luận về độ dài và các khẳng định hình học khác, bạn có thể thực hiện các tính toán và chứng minh chi tiết.