Bài toán trên liên quan đến bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và bất đẳng thức đối với các số dương. Dưới đây là cách chứng minh cho từng phần:

### Phần a)
**Chứng minh:**

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
(x + y + z)^2 \geq 3(xyz)^{\frac{2}{3}}
\]

Điều này có thể được suy ra từ công thức của bất đẳng thức Cauchy:

\[
(x + y + z)^2 = (1^2 + 1^2 + 1^2)(\frac{x^2}{1^2} + \frac{y^2}{1^2} + \frac{z^2}{1^2}) \geq (x + y + z)^2
\]

Do đó, ta chia cho 3:

\[
\frac{x + y + z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz}
\]

### Phần b)
**Chứng minh:**

Để chứng minh bất đẳng thức \(a^2 + b^2 + c^2 \geq 1\) từ điều kiện \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 1\), ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM, cho thấy rằng:

\[
a^3 + b^3 + c^3 \geq 3abc
\]

Kết hợp với điều kiện đưa ra, ta có:

\[
1 = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \geq 0
\]

Do đó, \(a^3 + b^3 + c^3 \geq 3abc\) và kết quả là bất đẳng thức yêu cầu được chứng minh.

Cả hai bài đều sử dụng những nguyên lý cơ bản của bất đẳng thức để đưa ra kết luận.