Để phân tích đa thức mà bạn đã cung cấp, chúng ta sẽ thực hiện từng bước cho mỗi phần của biểu thức.

**1. Phân tích phần đầu tiên**:
\[
(x^2 + 8x + 7)(x^2 + 8x + 15) + 15
\]
Đặt \( y = x^2 + 8x \). Khi đó, biểu thức trở thành:
\[
(y + 7)(y + 15) + 15
\]
Mở rộng biểu thức:
\[
y^2 + 15y + 7y + 105 + 15 = y^2 + 22y + 120
\]
Thay \( y \) trở lại:
\[
(x^2 + 8x)^2 + 22(x^2 + 8x) + 120
\]
Đặt tiếp \( z = x^2 + 8x \), ta có:
\[
z^2 + 22z + 120
\]
Giải phương trình bậc 2:
\[
z = \frac{-22 \pm \sqrt{22^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120}}{2 \cdot 1} = \frac{-22 \pm \sqrt{484 - 480}}{2} = \frac{-22 \pm 2}{2}
\]
Ta có nghiệm:
\[
z_1 = -10 \quad và \quad z_2 = -11
\]
Vậy ta có thể viết lại:
\[
z^2 + 22z + 120 = (z + 10)(z + 12)
\]
Chuyển về \( x \):
\[
(x^2 + 8x + 10)(x^2 + 8x + 12)
\]
Như vậy, phần này có thể viết thành nhân tử:
\[
(x^2 + 8x + 10)(x^2 + 8x + 12) + 15
\]

**2. Phân tích phần thứ hai**:
\[
4(x+5)(x+6)(x+10)(x+1) + 3x^2
\]
Bước đầu tiên là phân tích \( 4(x+5)(x+10) \) và \( (x+6)(x+1) \):
\[
(x+5)(x+10) = x^2 + 15x + 50
\]
\[
(x+6)(x+1) = x^2 + 7x + 6
\]
Nhân hai biểu thức trên:
\[
4(x^2 + 15x + 50)(x^2 + 7x + 6)
\]
Để đơn giản hóa nó, ta có thể mở rộng ra, nhưng vì độ phức tạp, có thể cần tham khảo thêm hoặc có thể không cần tính đến chi tiết.

**3. Phân tích đa thức cuối cùng**:
\[
x^4 - 3x^3 - 6x^2 - 3x + 1
\]
Ta sẽ áp dụng phương pháp giả định nghiệm. Thử chia \( x^4 - 3x^3 - 6x^2 - 3x + 1 \) cho các đa thức bậc 1 (x - a) xem có chia hết hay không bằng cách thử các giá trị nhỏ, nếu có thể tìm thấy sẽ là bước đi đúng.

Nếu bạn có phần phân tích sâu hơn nào cụ thể hơn hoặc giúp thêm thông tin, vui lòng cho mình biết!