Một vật khối lượng m ở độ cao h so với mặt đất lực tác dụng của trái đất lên vật F=(m.g.R^2)/(R+h)^2 với R là bán kính Trái đất và g là gia tốc rơi tự do

Để khai triển lực tác dụng của trái đất lên vật theo hàm đa thức \( h/R \), ta bắt đầu từ công thức đã cho:

\[
F = \frac{m \cdot g \cdot R^2}{(R+h)^2}
\]

**a) Khai triển \( F \) theo hàm đa thức \( h/R \)**

Chúng ta sẽ tái cấu trúc biểu thức trong mẫu của \( F \):

\[
F = \frac{m \cdot g \cdot R^2}{(R+h)^2} = \frac{m \cdot g \cdot R^2}{R^2 \left(1 + \frac{h}{R}\right)^2} = \frac{m \cdot g}{1 + \frac{h}{R}}
\]

Áp dụng công thức khai triển \( \frac{1}{(1+x)^2} \) (với \( x = \frac{h}{R} \)):

\[
\frac{1}{(1+x)^2} \approx 1 - 2x + O(x^2) \text{ với } x \to 0
\]

Áp dụng vào công thức của lực \( F \):

\[
F \approx m \cdot g \cdot \left(1 - 2 \cdot \frac{h}{R}\right) = m \cdot g - 2 \cdot \frac{m \cdot g \cdot h}{R}
\]

Vậy, chúng ta có thể viết:

\[
F \approx m \cdot g - \frac{2 \cdot m \cdot g \cdot h}{R}
\]

**b) Gần đúng bậc 1 của \( F \) theo \( h \) và h có bao nhiêu thì \( F \) xấp xỉ \( m \cdot g \)**

Từ công thức gần đúng ở phần a, ta quan sát rằng:

\[
F \approx m \cdot g - \frac{2 \cdot m \cdot g \cdot h}{R}
\]

Tại điều kiện \( F \approx m \cdot g \):

\[
m \cdot g - \frac{2 \cdot m \cdot g \cdot h}{R} \approx m \cdot g
\]

Giả sử phần \( - \frac{2 \cdot m \cdot g \cdot h}{R} \) là rất nhỏ so với \( m \cdot g \):

\[
-\frac{2 \cdot m \cdot g \cdot h}{R} \approx 0
\]

Điều này xảy ra khi:

\[
\frac{h}{R} \ll 1
\]

Tức là \( h \) phải đủ nhỏ so với \( R \) (bán kính Trái đất). Nếu \( R \approx 6371 \text{ km} \), thì \( h \) cần phải nhỏ hơn nhiều so với \( 6371 \text{ km} \) (thường là vài km). Cụ thể hơn, nếu \( h/R \) nhỏ hơn khoảng 0.1 (tức là 10% của bán kính Trái đất), ta có thể xem \( F \approx m \cdot g \).

Do đó, để \( F \) xấp xỉ \( m \cdot g \), giá trị của \( h \) nên khoảng:

\[
h \ll R \approx 6371 \text{ km} \quad \text{(khoảng vài km)}
\]

Kết luận, \( h \) cần rất nhỏ để \( F \) xấp xỉ \( mg \).