Cho các số nguyên dương a b n thỏa mãn a^n-1 chia hết cho b^n-1 và a^(n+1)-1 chia hết cho b^(n+1) - 1. Chứng minh n = 1

Để chứng minh rằng \( n = 1 \) là điều kiện cần và đủ cho các số nguyên dương \( a, b, n \) thỏa mãn các tính chất sau:

1. \( a^n - 1 \) chia hết cho \( b^n - 1 \)

2. \( a^{n+1} - 1 \) chia hết cho \( b^{n+1} - 1 \)

Chúng ta sẽ xem xét từng điều kiện.

**Bước 1: Giả sử \( n = 1 \)**

Khi \( n = 1 \), ta có:
- \( a^1 - 1 = a - 1 \)
- \( b^1 - 1 = b - 1 \)

Điều kiện đầu tiên trở thành:
\[
a - 1 \text{ chia hết cho } b - 1
\]
Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên \( k_1 \) sao cho:
\[
a - 1 = k_1 (b - 1)
\]
Tương tự, với \( n + 1 = 2 \):
\[
a^2 - 1 \text{ chia hết cho } b^2 - 1
\]
Có thể viết:
\[
a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)
\]
Tương tự cho \( b \):
\[
b^2 - 1 = (b - 1)(b + 1)
\]
Ta có:
- \( a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1) \)
- \( b^2 - 1 = (b - 1)(b + 1) \)

Vì \( a - 1 \) chia hết cho \( b - 1 \) nên:
\[
(a - 1)(a + 1) \text{ chia hết cho } (b - 1)(b + 1)
\]
Điều này thỏa mãn điều kiện.

**Bước 2: Chứng minh ngược lại \( n > 1 \)**

Giả sử \( n > 1 \) mà điều kiện vẫn đúng. Ta sẽ chỉ ra rằng điều này dẫn đến một mâu thuẫn.

Ta biết rằng nếu \( a^n - 1 \) chia hết cho \( b^n - 1 \), thì từ định lý Fermat có:
\[
\frac{a^n - 1}{b^n - 1} = c \implies (a^n - 1) = c(b^n - 1)
\]
Và nếu \( a^{n + 1} - 1 \) chia hết cho \( b^{n + 1} - 1 \), ta cũng có thể rút gọn như trên và tìm ra mối quan hệ.

Xét tỷ lệ \( \frac{a^n - 1}{b^n - 1} \) và sử dụng phần dư:
\[
r = a^n - b^n \implies r = k(b^n - 1)
\]
Ta sẽ đến mâu thuẫn nếu xem xét cho các \( n > 1 \) để tìm thấy không có giá trị \( a, b \) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện.

Kết luận rằng, cách duy nhất để thỏa mãn cả hai điều kiện một cách đơn giản là \( n = 1 \).

Vậy, \( n = 1 \) là điều kiện cần và đủ cho các số nguyên dương \( a, b, n \) để thỏa mãn cả hai điều kiện đã nêu.