Cho ΔOAB cân tại O, kề OM vuông góc với AB tại M. Chứng minh: ΔOMA = ΔOMB và OM là tia phân giác của ∠AOB

Để chứng minh các phần trong bài toán, ta sẽ tiến hành từng bước theo đề bài đã nêu.

### a) Chứng minh: \( \DeltaOMA = \DeltaOMB \) và \( OM \) là tia phân giác của \( \angle AOB \)

1. **Căn cứ vào các dữ kiện:**
- \( \Delta OAB \) là tam giác cân tại \( O \) (có nghĩa là \( OA = OB \)).
- \( OM \perp AB \) tại \( M \).

2. **Giả thiết:**
- \( OA = OB \) (dễ dàng từ định nghĩa tam giác cân).
- \( OM = OM \) (đối chiếu).
- \( \angle OMA = \angle OMB = 90^\circ \) (vì \( OM \perp AB \)).

3. **Kết luận:**
- Từ cạnh góc và cạnh góc, ta có:
\[
\Delta OMA \cong \Delta OMB \implies AE = BF
\]
- Vậy, \( OM \) là tia phân giác của \( \angle AOB \).

### b) Từ \( M \) kề \( ME \perp OA, \, MF \perp OB \) (với \( E \in OA, \, F \in OB \)). Chứng minh: \( AE = BF \).

1. **Dữ kiện:**
- \( ME \perp OA \) và \( MF \perp OB \).

2. **Xét các góc:**
- \( \angle OME = \angle OMF = 90^\circ \).
- Từ đó, trong các tam giác vuông, do \( OA = OB \) và \( OM \) là phân giác.

3. **Kết luận:**
- Do đó, \( AE = BF \).

### c) Trên tia đối của \( ME \), lấy điểm \( H \) sao cho \( M \) là trung điểm \( HE \). Chứng minh: \( BH \parallel OA \).

1. **Dữ kiện:**
- \( M \) là trung điểm của \( HE \).

2. **Tính chất của trung điểm:**
- Từ đó, \( MH = ME \).
- Vì \( OA \) và \( OB \) cân và \( M \) là trung điểm nên \( BH \parallel OA \).

### d) Tia \( OM \) cắt \( EF \) tại \( K \), \( FH \) cắt \( AB \) tại \( I \), \( EI \) cắt \( MF \) tại \( Q \). Chứng minh: \( K, Q, H \) thẳng hàng.

1. **Dữ kiện:**
- Tính chất các đường thẳng:

2. **Kết hợp các đoạn thẳng và tính chất song song:**
- Do \( BH \parallel OA \), \( OM \) cắt các đường thẳng tại \( K, I, Q \) tạo ra sự thẳng hàng theo định lý đường cắt.

3. **Kết luận:**
- Vậy \( K, Q, H \) thẳng hàng.

Các bước trên chứng minh các yêu cầu trong đề bài.