Để chứng minh rằng diện tích của tứ giác \( ABCD \) bằng \( S_{ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BD \cdot \sin \alpha \), ta dùng công thức tính diện tích tứ giác dựa trên đường chéo và góc giữa chúng.

1. Gọi \( AC \) và \( BD \) lần lượt là độ dài của hai đường chéo.
2. Góc \( \alpha \) là góc nhọn tạo bởi hai đường chéo \( AC \) và \( BD \).

Để tính diện tích tứ giác, chúng ta có thể chia tứ giác thành hai tam giác bằng đường chéo \( AC \).

- Diện tích tam giác \( ABD \):
\[
S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\theta_1)
\]
với \( \theta_1 \) là góc giữa hai cạnh \( AB \) và \( AD \).

- Diện tích tam giác \( BCD \):
\[
S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin(\theta_2)
\]
với \( \theta_2 \) là góc giữa hai cạnh \( BC \) và \( CD \).

Mệnh đề tổng hợp:
\[
S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{BCD}
\]

Tuy nhiên, để áp dụng mối quan hệ giữa diện tích tứ giác và đường chéo, ta cần nhận thấy rằng góc \( \alpha \) chính là góc giữa các đường chéo.

Vì vậy, chúng ta có thể dùng công thức diện tích tứ giác theo đường chéo:
\[
S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \alpha
\]

Và từ đó, ta đã chứng minh được yêu cầu.