Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo từng phần:

### a) Cho biết \( AB = 6 \, \text{cm} \), \( AC = 8 \, \text{cm} \)
1. **Tính độ dài \( BC \)**:
\[
BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{64 - 36} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \, \text{cm}
\]

2. **Tính chiều cao \( AH \)**:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 8}{2\sqrt{7}} = \frac{48}{2\sqrt{7}} = \frac{24}{\sqrt{7}} \, \text{cm}
\]

3. **Số đo các góc \( \angle B, \angle C \)**:
- Sử dụng định lý lượng giác, ta có thể tính:
\[
\sin B = \frac{AB}{BC} \text{ và } \sin C = \frac{AC}{BC}
\]

### b) Chứng minh rằng \( AM = AN \) và \( AC \) vuông góc với \( MN \):
1. Để chứng minh \( AM = AN \), ta dùng tính chất của tam giác đều hoặc đường cao trong tam giác vuông.

2. **Chứng minh \( AC \perp MN \)**:
- Sử dụng tính chất các góc vuông và định nghĩa các điểm M, N.

### c) Bài 5:

1. **Biết \( AB = 12 \, \text{cm} \), \( BC = 20 \, \text{cm} \)**:
- Sử dụng định lý Pythagore sẽ cho phép tính chiều cao \( AH \) và độ dài \( AC \).

2. **Tính chiều cao \( AH \)**:
\[
AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 \, \text{cm}
\]

3. **Số đo góc \( ABC \)**: Sử dụng định nghĩa hệ số tỷ lệ giữa các cạnh.

### Kết luận:

Tất cả các phần trong bài toán đã được phân tích và cần được thực hiện từng bước cụ thể để có kết quả chính xác. Nếu có thắc mắc hoặc cụ thể từng phần cần làm rõ hơn, hãy cho biết!