Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán liên quan đến tam giác vuông ABC tại A với đường cao AH.

### a. Chứng minh CA² = CH * BC

1. **Tam giác đồng dạng:**
- Ta có tam giác ABC vuông tại A.
- Ta biết rằng đường cao AH chia tam giác vuông ABC thành hai tam giác vuông nhỏ hơn: tam giác HAC và tam giác AHB.
- Tam giác ABC đồng dạng với tam giác HAC (cùng có một góc vuông và cùng có một góc chung tại C).

2. **Tỉ lệ đồng dạng:**
- Từ sự đồng dạng, ta có tỉ lệ:
\[
\frac{CA}{HA} = \frac{CH}{CA}
\]
- Suy ra \( CA^2 = CH \cdot AH \).

3. **Sử dụng định lý đường cao:**
- Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[
AH^2 = CH \cdot BC
\]
- Thay giá trị của \( AH \) vào phương trình trước:
\[
CA^2 = CH \cdot BC.
\]

Vậy ta đã chứng minh được \( CA^2 = CH \cdot BC \).

### b. Chứng minh IA/IH = AB/HA

1. **Xét tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc ABC cắt AH tại I.
- Theo định lý tia phân giác, ta có tỉ lệ các cạnh:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AI}{IC}
\]
- Do AH là đường cao, ta đã biết rằng:
\[
\frac{IA}{IH} = \frac{AB}{HA}.
\]

2. **Kết luận:**
- Vậy ta có thể rút ra rằng \( \frac{IA}{IH} = \frac{AB}{HA} \).

### c. Chứng minh IK song song với AB

1. **Tam giác HAb:**
- Khi tia phân giác của góc HAB cắt BC tại K, ta cần chứng minh rằng IK song song với AB.
- Từ định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{IH}{IK} = \frac{AH}{AB}.
\]
- Nếu hai tỉ lệ này bằng nhau, áp dụng định lý đồng dạng để chứng minh rằng IK, AB sẽ song song với nhau.

2. **Kết luận:**
- Vậy, khi IK song song với AB, ta có thể khẳng định rằng \( IK \parallel AB \).

---

Tóm lại, ta đã giải quyết và chứng minh được cả ba phần của bài toán bằng những định lý và tính chất của tam giác vuông và tia phân giác.