Để giải tam giác vuông \(ABC\) tại \(A\) và có \(C = 30^\circ\) cho các trường hợp sau:

### a) \(AB = 14 \text{cm}, C = 30^\circ\)

1. **Tính cạnh \(AC\):**
\[
AC = AB \cdot \sin(C) = 14 \cdot \sin(30^\circ) = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7 \text{cm}
\]

2. **Tính cạnh \(BC\):**
\[
BC = AB \cdot \cos(C) = 14 \cdot \cos(30^\circ) = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 12.12 \text{cm}
\]

### b) \(BC = 6 \text{cm}, C = 30^\circ\)

1. **Tính cạnh \(AC\):**
\[
AC = BC \cdot \tan(C) = 6 \cdot \tan(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 3.46 \text{cm}
\]

2. **Tính cạnh \(AB\):**
\[
AB = BC \cdot \frac{1}{\cos(C)} = 6 \cdot \frac{1}{\cos(30^\circ)} = 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 6.93 \text{cm}
\]

### c) \(AB = 12 \text{cm}, BC = 20 \text{cm}\)

1. **Tính cạnh \(AC\) và kiểm tra tính hợp lệ:**
\[
AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{12^2 - 20^2} = \sqrt{144 - 400}
\]
Kết quả là không có, vì \(12^2 < 20^2\). Do vậy, trường hợp này không hợp lệ cho tam giác vuông tại \(A\).

### Kết luận
- **Trường hợp a):** \(AC = 7 \text{cm}, BC \approx 12.12 \text{cm}\)
- **Trường hợp b):** \(AC \approx 3.46 \text{cm}, AB \approx 6.93 \text{cm}\)
- **Trường hợp c):** Không hợp lệ.