Để chứng minh rằng góc \( mOn \) là góc vuông, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của góc và sự phân giác của chúng.

1. **Góc ban đầu**: Từ đề bài, ta có:
- Tia \( Oz \) nằm trong góc bẹt \( xOy \) với \( \angle yoz = 80^\circ \).

2. **Phân giác**:
- Tia \( Om \) là tia phân giác của góc \( xOz \).
- Tia \( On \) là tia phân giác của góc \( zOy \).

3. **Tính toán các góc**:
- Gọi \( \angle xOz = a \) và \( \angle zOy = b \).
- Vì \( O \) là điểm chung giữa các tia và \( xOy \) là góc bẹt, ta có:
\[
a + b = 180^\circ.
\]

4. **Áp dụng tính chất phân giác**:
- Vì \( Om \) là tia phân giác của góc \( xOz \), ta có:
\[
\angle xOm = \frac{a}{2}.
\]
- Vì \( On \) là tia phân giác của góc \( zOy \), ta có:
\[
\angle zOn = \frac{b}{2}.
\]

5. **Tính góc mOn**:
- Từ đó, góc \( mOn \) được tính như sau:
\[
\angle mOn = \angle xOm + \angle zOn = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a+b}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ.
\]

6. **Kết luận**:
- Vì \( \angle mOn = 90^\circ \), suy ra góc \( mOn \) là góc vuông.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh rằng góc \( mOn \) là góc vuông.