Để giải quyết các câu hỏi của bài toán về tam giác ABC và các điểm liên quan đến các đường cao, chúng ta sẽ lần lượt phân tích từng phần.

### a) Gọi O là trung điểm của AK. Chứng minh AIOM là hình bình hành.

Chúng ta cần chứng minh rằng \( AI \parallel OM \) và \( AM \parallel IO \).

1. **Điểm M là trung điểm của BC**: Từ đó suy ra \( AM \) là trung tuyến của tam giác \( ABC \), nên \( AM \) chia đôi cạnh \( BC \).
2. **Điểm I là trung điểm của AH**: Vậy \( AI \) chia đôi đoạn \( AH \).
3. **Điểm O là trung điểm của AK**: Giả sử \( H \) có tọa độ \( H(x_H, y_H) \) và \( K \) là điểm đối xứng của \( H \) qua \( M \). Do đó, \( K \) nằm ở phía bên kia của \( M \) với khoảng cách bằng nhau.

Từ các định nghĩa trên và tính chất của các trung điểm, ta có:

- \( AI \parallel OM \) (vì AI và OM đều chia đều các đoạn tương ứng).
- \( AM \parallel IO \) (vì AO là đoạn nối 2 điểm trung điểm).

Vì vậy, \( AIOM \) là hình bình hành.

### b) Gọi G là giao điểm của AM và HO. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.

1. **H là trực tâm**: Ta biết \( H \) là trực tâm của \( ABC \), do đó các đường cao chia nhau theo tỉ lệ \( \frac{AG}{GM} = \frac{AB}{AC} \).
2. **G là giao điểm của AM và HO**: Điểm này chính là nơi mà trung tuyến \( AM \) (chia thành hai đoạn) và đoạn nối giữa trục đối xứng \( O \) và điểm \( H \) giao nhau.

Theo các tỉ lệ trong tam giác, \( G \) sẽ chia đoạn \( AM \) theo tỉ lệ \( 2:1 \) khi chiều dài đoạn \( AM \) được tính từ điểm \( A \) đến trung điểm \( BC \). Do đó, G tọa lạc tại trọng tâm của tam giác ABC.

### c) Đường thẳng qua K vuông góc với AD, cắt AD tại L. Chứng minh BCKL là hình thang cân.

1. **AD vuông góc với BC**: Bởi vì \( D \) là điểm thuộc trực giao sau, nên \( AD \) vuông góc với \( BC \).
2. **H là trực tâm**: Do \( H \) thuộc \( AD \) và \( K \) là điểm đối xứng với \( H\) trên \( BC\), đoạn thẳng \( KL \) sẽ vuông góc với \( AD\).
3. **Khối L và K đối xứng qua M**: Dẫn đến 2 đoạn \( BL \) và \( CK \) bằng nhau.
4. **Hai đoạn BC và KL song song**: Vì đều vuông góc với \( AD \).

Do đó, \( BCKL \) là hình thang cân.

### d) Chứng minh AH² + BC² = AK².

Để chứng minh này, ta sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông và tính chất hình học của các điểm liên quan đến hình bình hành đã chứng minh ở phần a và b.

1. **Diện tích của tam giác**: Ta có thể sử dụng các diện tích phụ để so sánh các dài liên quan giữa các điểm.
2. **Áp dụng định lý Pythagore** cho tam giác \( ABH \) và tam giác \( KCH \), từ đó suy ra mối quan hệ giữa các đoạn và tọa độ của các điểm.
3. **Chứng minh**: Sử dụng tỉ lệ và các yếu tố liên kết để lấy được mối quan hệ giữa diện tích và các cạnh của tam giác.

Mà từ đó có:
\[
AH^2 + BC^2 = AK^2,
\]
như yêu cầu.

Hy vọng với hướng giải này, các phần bài toán đều đã được lý giải một cách hoàn chỉnh.