Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ vẽ hình và tiến hành từng bước chứng minh theo yêu cầu.

**Bước 1: Vẽ hình**

1. Vẽ một đường tròn (O) với bán kính tùy ý.
2. Chọn một điểm M nằm ngoài đường tròn.
3. Vẽ hai tiếp tuyến MA và MB từ điểm M đến đường tròn, với A và B là các tiếp điểm.
4. Kẻ đoạn thẳng AB (tức là đoạn nối hai tiếp điểm).
5. Vẽ đường kính AC của đường tròn (O). Điểm C là điểm đối diện với A trên đường tròn.
6. Kẻ đoạn thẳng MC và để nó cắt đường tròn tại một điểm H (H khác với C).

**Bước 2: Chứng minh phần a**

Để chứng minh 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn và MO vuông góc với AB tại I.

- Từ tính chất của các tiếp tuyến, ta biết rằng MA = MB.
- Đoạn OA và OB là các bán kính của đường tròn (O) tại A và B.
- Áp dụng định lý Pytago trên tam giác MAO và tam giác MBO, ta thấy rằng các tam giác này là đồng dạng, và do đó điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp các cạnh ABO.
- Hơn nữa, vì MA và MB là các tiếp tuyến, suy ra góc OMA = góc OMB = 90 độ.
- Từ đó, MO vuông góc với AB tại điểm I, điểm giao của đường thẳng MO với đoạn thẳng AB.

**Bước 3: Chứng minh phần b**

Chúng ta cần chứng minh rằng góc AHC = 90 độ và tam giác MIH đồng dạng với tam giác MCO.

- Đầu tiên, để chứng minh rằng góc AHC = 90 độ, ta thấy rằng AC là đường kính của đường tròn (O). Theo định lý góc nội tiếp, góc AHC sẽ bằng 90 độ vì A và C là hai điểm nằm trên đường tròn, và H nằm trên đường tròn.
- Đối với tam giác MIH và tam giác MCO:
- Vì MO vuông góc với AB tại điểm I, và H là giao điểm giữa MC và đường tròn, nên góc MHI = góc MCO (góc này cũng là 90 độ).
- Tam giác MIH có cạnh MH chung với tam giác MCO.
- Các tỉ số giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác này đều bằng nhau, vì vậy tam giác MIH đồng dạng với tam giác MCO.

Với các bước trên, chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh các yêu cầu trong bài toán.