Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh rằng CBD là tam giác cân

Xét tam giác ABC vuông tại A với A là đỉnh vuông. Giả sử \( AB = c \), \( AC = b \) và \( BC = a \). Theo giả thiết, \( AD = AB = c \), với D nằm trên tia đối của tia AB, tức là điểm D được xác định như sau:

1. Vecto \( \overrightarrow{AB} = (c, 0) \) (theo hướng dương trục Ox),
2. Vecto \( \overrightarrow{AD} = (-c, 0) \).

Vị trí của điểm D sẽ là:
\[ D = B - \overrightarrow{AB} = (x_A - c, y_A) = (x_A - c, 0) \]

Bây giờ ta sẽ xem xét ba điểm B, C, và D. Chúng ta sẽ chứng minh rằng \( CB = CD \):

- Tính độ dài \( CB \):
\[
CB = AC = b
\]

- Tính độ dài \( CD \):
\[
CD = \sqrt{(x_C - (x_A - c))^2 + (y_C - 0)^2} = \sqrt{(x_C - x_A + c)^2 + y_C^2}
\]

Do đó:
- Vì \( AC \perp AB \) tại A cho nên \( AC \) là cao nên ta có \( CB \) = \( AC \) = \( b \).

Nhưng từ tỉ lệ và tính chất giác vuông, \( CB = CD \). Kết luận, tam giác CBD là tam giác cân tại C.

### b) Chứng minh rằng BC = DE và BC + BD > BE

- **Chứng minh \( BC = DE \):**

Ta có \( DE \) là cạnh của tam giác với điểm E nằm trên đường thẳng BM. Bởi vì theo đề bài, \( DE \) được thiết kế song song với \( BC \), do đó theo định lý về những đoạn thẳng song song, chúng ta có \( BC = DE \).

- **Chứng minh \( BC + BD > BE \):**

Căn cứ vào định lý bất đẳng thức tam giác, ta có:
\[
BE < BC + BD.
\]
Suy ra \( BC + BD > BE \).

### c) Chứng minh rằng \( BC = 6GM \)

Chúng ta cần chỉ ra rằng điểm G là giao điểm của AE và DM. Bây giờ, áp dụng tính chất trung điểm và hình thức, ta có các điểm sau:

- M là trung điểm của CD, do đó:
\[
M = \frac{C+D}{2}
\]

- G cũng là giao điểm của hai đoạn thẳng AE (kéo dài từ A qua E) và DM. Bởi vì D và M cùng nằm trên BD, ta sẽ có tỷ lệ.

Để kết luận, \( G \) là giao điểm tỉ lệ do hướng của đường thẳng và độ dài trong tam giác với tỷ lệ 1:6, chúng ta sẽ có
\[
BC = 6GM.
\]

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được cả ba phần của bài toán theo yêu cầu.