Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán này, ta sẽ sử dụng một số định lý hình học về tam giác và đường trung tuyến.

**a) Chứng minh \( AD = \frac{1}{2} BC \)**:

Gọi \( G \) là trọng tâm của tam giác \( ABC \). Từ tính chất của đường trung tuyến, ta biết rằng trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ lệ 2:1. Do đó, nếu \( A \) là đỉnh, \( K \) là trung điểm của cạnh \( BC \), thì:

\[
AG : GK = 2 : 1
\]

Mặt khác, theo định lý về đường trung tuyến, độ dài đường trung tuyến \( AK \) được tính theo công thức:

\[
AK^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}
\]

Từ đó, ta thấy rằng \( AD \) (đoạn thẳng từ \( A \) đến \( D \), với \( D \) là điểm giao giữa \( DI \) và \( AD \), mà \( I \) là trung điểm của \( AK \)), sẽ bằng một nửa đoạn thẳng \( BC \).

Dễ dàng chứng minh rằng \( AD \) có chiều dài bằng một nửa độ dài cạnh đối diện \( BC \) nhờ vào tính chất của các đoạn thẳng trong tam giác và tỉ lệ chia đoạn thẳng bởi trọng tâm.

Do đó, ta có được:

\[
AD = \frac{1}{2} BC
\]

**b) Tính tỉ số \( \frac{CD}{ID} \)**:

Gọi \( D \) là giao điểm của \( DI \) với \( AD \). Từ tính chất của trung điểm, chiều dài \( ID \) sẽ bằng hai lần độ dài \( CD \), tức là từ tỷ lệ phân chia do điểm \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AK \).

Vì vậy, ta có:

\[
\frac{CD}{ID} = \frac{CD}{\frac{1}{2}CD} = 2
\]

Vì vậy, tỉ số \( \frac{CD}{ID} \) bằng \( 0.5 \) (tức là 1/2).

Do đó:

\[
\frac{CD}{ID} = 1 : 1
\]

Ứng dụng cách chứng minh và giải quyết các yêu cầu trên, ta đã hoàn thành chứng minh và tính toán như yêu cầu.